【趣味数学】可以说谎的猜数字游戏

　　又是一年找工作的高峰期，各种各样千奇百怪的智力题也在考验着学子们的智商，其中有些题目更是让人脑细胞大量死亡。。。近来有同学问一道，带有说谎的猜数字游戏，问“元芳，这事你怎么看？”，我这想一口盐汽水喷死他。好了，言归正传。

问题描述：

　　A,B两名玩家首先约定正整数N,然后A在心里想一个正整数x，其中x在1和N之间，B通过提问来猜出A心中所想的数字x。B提问的格式只有一种：先列出一些数字，然后问“x”是否在这些数字中（当然B也可问：x是否在某个区间内），B可以提问任意多次，A可回答“是”或者“否”。A可以偶尔撒谎的，但是A不能连续两次撒谎。问：B是否可以通过询问得到A心中的所想的数字，或者给出一个集合保证A所想数字x必定落在次区间内，如果能请给出策略；如果不能请说明理由。

问题解答：

　　乍一看这个问题确实比较棘手，不知道从何开始，再次情况下，先求解简单的特殊情况，然后逐步归纳得到一般地结论，是一个不错的选择。因而我们可以从最简单的情况考虑，假设N=2，那么A所想的数字要么是1要么2.这种情况下如何呢？

　　由于A不可能连续说谎，所以如果对于同一个问题连续问两次，A两次给出相同的答案，那么我们是可以猜出答案的。比如：B连续两次提问“x=2吗？”，A如果给出答案“是是”，那么A两次必然都说真话，所以x=2；如果A回答“否否”，那么两次“否”也是真话，因而断定x不等于2，x=1。

　　然而A给出不能的答案，B连续两次提问”x=2吗？“，A回答“是否”，我们只能断定有一次说了假话，不能断定哪一次说了假话，因而得不到任何有用的信息。在此基础上，如果再问“x=1吗？”，A可以根据上次说真话还是假话来给出回答，如果上次说的假话，那么只要保证这次说的是真话就可以了，但是我们并不知道他是否正在说真话，因而还是得不到有用的信息；如果上次说的真话，那么这次真话假话都可以，就可以随便答，如果继续逼问”x=1吗？“，A上次说”是“，这次就说”否“，上次说”否“，这次就说”是“，我们是无论如何都不可能知道他什么时候在撒谎的。因而如果只有两个值，那么B是不可能通过提问来猜出x的。

上面的过程可以通过下面这个简单的例子看出，假设x=2。

(1)”x=2吗？“  ”是“  ”x=2吗？“  "否"  ”x=2吗？“  ”是“。。。（交替回答即可）。。。。”x=1吗？“  ”是/否“（上次说真话，这次随便） ”x=1吗？“  ”否/是“ 

(2)"x=2吗?"   "否"   ”x=2吗？“  ”是“  ”x=2吗？“  ”否“。。。。（交替回答即可）。。。”x=1吗？“  ”否“（上次说假，这次必须说真）  ”x=1吗？“  ”是“

因为1和2是称的，如果接着问”x=2吗？“，只需要把上述（1）（2）中回答1和2的策略交换即可。

----------------------------------------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------------------------------

　　N=2是不能断定的，那么N=3情况会是怎么样的呢？A只能想123中的某一个数。同样根据A不能连续说谎两次，我们可以对一个问题重复问2次以上，如果A的回答是相同的，那么必然是可以得到信息的。

例如连续问”x=3吗？“，A的回答方式只可能是”是是“ ”否否“”是否“”否是“这四种情况。

（1）如果A回答”是是“，立刻断定两次都为真话，因而x=3.

（2）如果A回答”否否“，立刻断定两次都为真话，因而x不等于3，可排除3.

（3）如果A回答”否是“，继续问”x=2吗？”  A只能回答“是/否”，分情况讨论：(3a)如果A回答“是”。也就是“x=3吗？”“是”“x=2吗？”“是”。由于两者中至少有一真，有不可能都是真（x不能即等于2也等于3），所以两者中必有一真一假。这样可以得出x要么等于2要么等于3,因而可以排除1。(3b)如果A回答是“否”，也就是“x=3吗？”“是”“x=2吗？”“否”。这时如果x=2，那么可以得出他两次都说假话。因而可以得出x不等于2，即可以排除2.

（4）如果A回答“是否”，继续问“x=3吗？”，如果回答“否”，按情况（2）处理，如果回答“是”，按情况（3）处理。

　　因而通过上面的提问策略我们总是可以排除其中的一个数，在大多数情况下不能得到更多的信息，除了情况（1）可直接得到答案。

----------------------------------------------------------------------------我是分割线-------------------------------------------------------------------------

　　现在我们开始考虑原始问题，如果N比较大怎么办呢？我们可以把N分成三等分（不一定要求相等，尽量即可），这样把上面的策略中的123，换成集合123即可，比如“x在第三个集合中吗？”，这样的话，我们每次可以淘汰1/3的所有数字，直到最终剩下两个数字，就归结为第一个小问题，不可能得到确定的某一个数字。

　　本来讨论到这里已经结束了，但是有同学说，其实这个问题Matrix67已经有讨论过，并且还有更一般的结论，有兴趣的同学请点击这里。

 

 <注>博主python27对本博客文章享有版权，转载请注明出处，对解题思路有任何建议，欢迎在评论中告知。