Problem 2: Even Fibonacci numbers
Problem 2
Each new term in the Fibonacci sequence is generated by adding the previous two terms. By starting with 1 and 2, the first 10 terms will be:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
By considering the terms in the Fibonacci sequence whose values do not exceed four million, find the sum of the even-valued terms.
解答
斐波那契数列中的每一项被定义为前两项之和。要求找出该数列中值为不超过 4 百万的偶数的项之和。
这道题稍微有点难度。这里使用 Haskell：
Prelude> sum $ takeWhile (<=4000000) $ filter even $ map fst $ iterate (\(a,b)->(b,a+b)) (1,2)
这个程序只有一行，我们从这行最右边开始分析：
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(1, 2) 这个元组表示斐波那契数列的头两项。
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其左边的 lambda 表达式将元组 (a, b) 变为 (b, a+b) 。
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iterate 函数使用其右边的两个参数，生成一个无限列表：[ (1,2), (2,3), (3,5), (5,8), (8,13), ...] 。不要担心无限列表会耗尽内存，Haskell 是惰性求值的，只会生成你所需要的项。
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map fst 函数取出列表中元组的第一个元素，生成一个新的列表：[ 1, 2, 3, 5, 8, ... ] 。
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filter even 函数过滤列表中的元素，只留下值为偶数的项：[ 2, 8, ... ] 。
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takeWhile (<=4000000) 函数也用来过滤列表，停止于列表中最后一个不大于 4 百万的元素。所以在这里我们得到了一个有限的列表：[ 2,8,...,3524578 ]，该列表共计 11 项。
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sum 函数将列表中的所有元素求和。如果把这里的 sum 函数改为 last 函数，就变成取列表最后一项。如果把 sum $ 去掉，就得到整个列表了。
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这里所有的 $ 都是函数，用在这里是为了减少代码中括号的数目，你可以理解为分隔符。
陷阱
千万不要写出以下程序：
main = print $ sum $ takeWhile (<=4000000) $ filter even $ map fib [1..] fib 1 = 1 fib 2 = 2 fib n = fib (n-1) + fib (n-2)
这个程序的算法是正确的：
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第 3 行到第 5 行的 fib 函数就是用来计算斐波那契数列的第 n 项的。这是经典的递归算法。
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第 1 行最右边的 [1..] 生成一个无限列表：[ 1, 2, 3, 4, 5, ... ] 。
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map fib 函数生成斐波那契数列：[ 1, 2, 3, 5, 8, ... ] 。
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剩下的事情就和第一个程序一样了。
但这个程序在我的PC上要运行 16.588 秒（使用 Unix 的 time 命令计时）。第一个程序仅需 0.003 秒。而且这差别还不是线性的，随着要计算的项数的增加，效率相差越来越大。直接使用递归计算斐波那契数列是算法教科书上著名的反例。
改进
虽然第一个程序已经非常快了，但还可以稍微改进一下：
Prelude> sum $ takeWhile (<=4000000) $ map fst $ iterate (\(a,b)->(b,a+4*b)) (2,8)
这个 Haskell 程序和第一个程序的差别如下：
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作为起始条件的元组 (1,2) 被修改为 (2,8) 了。
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lambda 表达式中对元组的第二项乘了四倍。
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不再过滤掉列表中值为奇数的项了。
这个程序的运行结果和前面两个程序是一样的。为什么呢？我们来观察斐波那契数列（不要说这个数列和题目中的不一样，斐波那契数列的头两项是什么数学家们就没有取得一致过（。不过这不影响我们的答案，因为 1 不是偶数。）：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
可以看到，每三项就有一项是偶数。这样，就每三项取一个数：
2, 8, 34, 144, ...
可以证明，这个新数列的每一项（从第三项起）是前一项的四倍再加上再前一项。这样，我们就得到了改进的程序。
详细的论述请参见：002_overview.pdf 。
