Problem 1: Multiples of 3 and 5

Problem 1

If we list all the natural numbers below 10 that are multiples of 3 or 5, we get 3, 5, 6 and 9. The sum of these multiples is 23.

Find the sum of all the multiples of 3 or 5 below 1000.

用穷举法暴力解答

第一道题总是非常简单的，只是求 1000 以下所有 3 或 5 的倍数之和。直接在 Haskell 交互环境中输入以下语句就行了：

Prelude> sum [ x | x <- [1..999], mod x 3 == 0 || mod x 5 == 0 ]
233168

这是用穷举法来测试 1000 以下的所有正整数，再将所有 3 或 5 的倍数相加就行了。

使用组合数学公式解答

根据组合数学的容斥原理，这道题的答案是：

根据等差数列的求和公式，我们有：

根据以上公式，我们写出以下 Haskell 程序 001.hs：

import System.Environment

main = do
  s <- getArgs
  print $ let n = read $ head s in (f n 3) + (f n 5) - (f n 15)

f x y = let n = div x y in y * div (n * (n + 1)) 2

运行后得到同样的结果：

$ runhaskell 001 999
233168

虽然程序看上去更复杂了，但是其效率却大大地提高了。前一个程序的时间复杂度是 O(n)，而这个程序的时间复杂度是 O(1)。也就是说，不管 n 多么大，都可以马上算出结果。例如，把 n 的值改成一个非常大的数，这个程序瞬间就可以计算出结果：

$ runhaskell 001 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
233333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333166666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666668

使用这些公式，也很容易使用纸和笔进行计算。

还可以参阅：001_overview.pdf。