数学分析理论（rudin版）笔记：实数系和复数系.2：抄书版

• 有理数（rational number）记为 $\mathrm{Q，实数记为 R}$
• 虽然任意两个不同的有理数间还有一个有理数，但是有理数集中还是会有 “间隙”，而实数集填补了这些间隙．
• 集合（set）：属于（in） $\mathrm{x\in A，不属于（not\; in） x\notin A}$
• 空集（empty set），非空（none empty），子集（subset） $\mathrm{A\subseteq B，超集（superset） B\supseteq A，真子集（proper\; subset）}$
• 有序集（ordered set），任意不相等的两个元可以比较大小
• 有上界（bounded above）：任意元小于等于超集中的某个元．上界（upper bound）
• 最小上界（least upper bound，supremem）：$\mathrm{\alpha =supE；最大下界（greatest\; lower\; bound，infimum）：\alpha =infE}$
• 如果对于任意非空有上界的 $\mathrm{E\subset S，都有 supE\in S，那 S 就具有 upper\; bound\; property}$
• 域（field） 集合 $\mathrm{F 定义了加法和乘法．加法满足：闭合性，交换律，结合律，存在\; 0\; 元，存在逆元．乘法满足：闭合性，交换律，结合律，存在单位元，存在倒数．加法和乘法满足分配律．}$
• 有理数集是一个域
• 有序域（ordered field）
• 存在一个有序域 $\mathrm{R 具有\; upper\; bound\; property，且有理数集 Q是其子集．R 就是实数．}$
• 实数的阿基米德性质：存在整数 $\mathrm{n 使 nx>y（x>0）}$
• $\mathrm{x\in R，x>0，n 为整数，存在实数 y 使 yn=x}$
• 稠密（dense）: 两个不同的实数间必有一个有理数
• extended real number system 是在实数集基础上加入 $\pm \infty 两个符号．对任何实数有 -\infty <x<+\infty ．所有非空子集都有最小上界和最大下界．相比于无穷，实数集中的元被称为 finite．$
• 复数是一对有序实数 $(a,b)，定义了加法和乘法后，就变成了一个域．定义 i=(0,1)．$
• 对正整数 $\mathrm{k，Rk 定义为所有 k 个有序实数的集合 x=(x1,\dots ,xk)，其中 xi 叫做坐标．}$
• 定义 ${\mathrm{Rk 中的内积为 x\cdot y=\sum ki=1 xiyi}}^{}$
• 定义模长为 $|x|=(x\cdot x)1/2$
• 定义了内积和模长的 ${\mathrm{RkRk 被称为欧几里得 k 空间（euclidean\; k-space）．这也是一个度量空间（metric\; space）（见下文）．通常 R1 叫做线，R2 叫做面}}^{}$