数学分析理论(rudin版)笔记:实数系和复数系.1
导引
有理数集是“稀疏的”和“稠密的”。
选择公理
考虑以下问题:容易找到两个无理数 a, b 使 a + b 为有理数,或者使 ab 为有理数,但是能否使得 ab 也是有理数?
答:令
如果 x 是一个有理数,则即可。
如果 x 是无理数,则令 ,而
,则
,通过Gelfond-Schneider 定理可知:如果 α ≠ 0, 1 是一个代数数,而 β 是一个代数数而非有理数,则 αβ 是一个超越数。因此,
是一个超越数,也是一个无理数。由此可证。
选择公理是从一些集合做出其他集合的几个规则之一。这种规则的两个典型例子是下面的命题:对于任意的集合 A,可以作出其一切子集合的集合,称为 A 的幂集,还有对于任意的集合 A 和任意的性质 p,可以作出 A 中所有具有性质 p 的元素的集合(这两条规则分别叫做幂集公理和概括公理)。粗略地说,选择公理说的就是允许我们在作出一个新集合的时候作任意多次未加特别说明的选择。
另一个回答:令 ,则:
哪一种可以解答上文证明?
-
如果 v 是有理数,第一种情况能行。
-
如果 v 是无理数,第二种情况能行。
拓展1:
Banach和Tarski提出分球悖论,意图以此拒绝接受选择公理:
一个三维或者更高维球面或者球体存在一个分割,使得经过一些旋转和平移操作后,我们可以得到两个不相交的球面或者球体,且其并集正好为两个和原球体等大的球。
这个悖论(或者定理)说明了不是所有的集合都是勒贝格可测集,因为勒贝格可测集的测度是旋转和平移不变的,但是球体的测度是正的(就是球的体积不是0),如果所有子集都可测,那么对球体的(有限)划分,每一个子集做平移旋转之后的测度是不变的,所以无论怎样我们都不能得到两个球体的集合。
(SO(3) 不仅仅是一个不可交换群,它还有特殊的子群,叫做自由群(free group),并且这个自由群的生成元素(generator) 可以是可数个(数目什么的不重要。
首先,我们来观察一下由{a, b}生成的自由群F2的样子,我们把F分为四类,其中S(a) = {x∈F2, x1=a},x1代表x的第一个位置。同理,我们可以得到S(b), S(a−1), S(b−1),这样我们会得到F的一个无交分解F2 = {e} ⋃ S(a) ⋃ S(b) ⋃ S(a−1) ⋃ S(b−1),在这几个子集中我们发现有这样的性质,aS(a−1) ⋃ S(a) = F2,bS(b−1) ⋃ S(b) = F2。这个等式与我们想要的结果已经在形式上类似了,并且一个三维空间中的所有旋转组成了一个群,这让我们希望能够发现这个群中是否包含一个两个元素生成的自由群。
比如令θ = arctan(1/3),a, b分别代表绕x轴和z轴顺时针旋转θ角,则由a, b生成的群就是这样的一个由两个元素生成的自由群。事实上,我们只要取θ是π的无理倍,并且两个旋转无关,即不能通过组合的方式回到原样,就是一组我们可以选取的a, b。我们把这个群记为G。
我们首先考虑球面S2上的点,我们可以通过G对S2的一个群作用,把S2分成不同的轨道,作用方式即为旋转,这其实给出了一个等价关系,即两个点在同一个等价类中当且仅当他们中间只差G中的一个旋转。
下面我们将要使用选择公理,我们要在每一个轨道中选出一个代表元素,使他们组成一个集合,记为M,则我们有G×M = S2,由上,我们给出了S2的一个无交分解S2 = M ⋃ S(a)M ⋃ S(b)M ⋃ S(a−1)M ⋃ S(b−1)M。再根据上面讨论的该自由群的性质,我们可以对S2进行一个分解,由于直接分解会导致M的重复,所以我们把S