几种特殊的矩阵和用途（一）

（一）协方差矩阵——过渡矩阵

已知协方差矩阵：

这里是 1 / n，属于有偏估计

 

 

 

 过渡矩阵：

 

 

（二）二次型

 

用处1：基变换，P是其他坐标基

（P是单位正交矩阵，在世界坐标系下的向量，相当于XYZ轴旋转后，在【自然坐标系】下的单位向量）

 

 (单位正交矩阵的逆矩阵，就是其转置，P^-1 = P^T)

所以：

f(x',y',z') = X'^T P^TAPX'

B = P^TAP

B又叫合同矩阵，与A合同。

(x',y',z')已经不是【自然坐标系】下的坐标了。

用处2：旋转

直接将P^TX代替X，f(x,y,z) = X^T P^TAPX，(x,y,z)依然是【自然坐标系】下的坐标。

 

（三）坐标基

第一阶段：

自然坐标系下，测得：A、B、C 、P1、P2、P3三维坐标

令：

P1、P2、P3 在ABC坐标系下坐标：

 

 

第二阶段：

自然坐标系下，测得：

A、B、C ，不能测得P1、P2、P3，求P1、P2、P3在自然坐标系下的坐标

假设A的坐标，带“_”号

得到三个正交单位向量

 

 

P1\P2\P3在ABC下的坐标不变，依然为：

 

P1、P2、P3的自然坐标，为：