数学杂谈

微分：

图像一：f是里程，t是时间，如果v是一定时，那么不难理解，f的图像是一条固定斜率的直线；

图像二：基于图一，v和t的图像，是一条平行于t轴的直线；并且，在t1处，f = v * t1；

图像三：如果v是随t的变化而变化，那么如果有v = c t；那么，在t1处，有 f = 1 / 2 * c * t1 * t1；

图像四：基于图三，f是一条凹抛物线；

问题一：如何知道，在任意的t1处，根据f的图像，求得v的值。也就是根据f的表达式，求得任意时刻的v？

假设，在t1处，有f(t1)；在t1 + △t处，有f(t1 + △t)，那么， t1 ~ t1+△t的平均速度 =  [f(t1 + △t) -  f(t1)] / △t = 1 / 2 * c * ( 2*t1 + △t )

那么，当△t 无限接近0的时候，得到的就是t1的速度，v(t1) = c *t1；如果△t 不是接近0，得到的就是平均速度。

所以，要学习微分，先学习求极限；对所有的导数推导，如sinx，e^x的推导，也可以这样推；

思考：matlab求某个x处的导数（斜率），是不是也是用极小的△x来代入[f(x+△x) -  f(x)] / △x的呢？

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 利用导数，可以找出函数的特殊点：

 

1. 当二阶导数为0时，x1 = x3 = 0，那么原函数处于凸顶或者凹底；

2. 当三阶导数，在x1< 0时，原函数处于凸顶（二阶函数的变化速度为负，原函数往负方向拐）；

3. 当三阶导数，在x2 = 0时，证明二阶导数在x2处，速度绝对值已经最大（接下来就下降）；那么，证明原函数，其上升或下降的速度已经减缓，在不久就触底了。

 

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有关指数函数 :

y = e^x；

y' = e^x;

如果有一函数：y = y'

y = 1，y' = 1

有矛盾，y = 1 + x 时，才有 y' = 1；

有矛盾，y' = 1 +  x 为必须符合条件；

有矛盾，y = 1+ x + 1/2 * x² 上面才成立；

有矛盾，y' =1+ x + 1/2 * x²  为必须符合的条件；

有矛盾，y = 1 + x + 1/2 * x² + 1 / (2*3) *x³上面才成立

。。。

直到 y = e^x 的无穷泰勒级数展开才行。

 e到底有何特别呢？

假如银行存一年，给100%利息，1~n年后，利叠利1,2,4,8...

如果利息按月计算，那么每月利息是本金的1/12，1~12月的本金+利息为：

（1+1/12），（1+1/12)^2……（1+1/12)^12  > 2

那如果利息按天计算，1~365天，本金+利息为：

（1+1/365)^365>（1+1/12)^12  > 2

但是：

（1+1/n）^n <= e

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积分

假设每一个步长记录一次y的值，假设步长△x =1，那么：

y = 0，1，4，9，16……

斜率：

s = (1-0)/△x ，(4-1)/△x ，(9-4)/△x……

即：

s = 1，3，5，7……

那么，由s求回y，就是对s的值进行累加。

进入代数：

y：y0，y1……yn;

△y：y1-y0，y2-y1，y3-y2……y(n)-y(n-1)

 Σ△y = y(n)-y(0)

那么，有：

Σ [（△y / △x）* △x ] =（ y(n) - y(0) ） 

如果让△y和△x足够小，趋近于0的称为dy，dx，而且Σ也不太合适，所以写成：

∫(dy/dx)dx = （ y(n) - y(0) ） 

(*始终记住一点，∫代表连加，积分就是，微小量乘以斜率，然后连加)

用求极限的方式：

已知y'(x)，在区间(x1,x2)中，△x = (x1-x2 )/ n 

当n足够大，又有y'(x1)，y'(x1+△x)，y'(x1+2△x)……y'(x2)就可以近似计算数值y(x2)-y(x1)

 

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求导法则：

1. 函数相乘 p(x)=f(x)g(x)　　dp/dx = f(x) * dg / dx + g(x) * df / dx;

例子：p(x) = x² * x　　dp/dx = x² * 1 + x * 2x = 3x²

来由：

想象一下，f(x)和g(x)分别是长方形的长和宽，x0处，有p(x0)这个面积。

那么，移动一点点，△x，那么对于f(x)，有△f，对于g(x)，有△g;

那么，面积△p = f(x0) * △g + g(x0) * △f + △g * △f

从而 △p / △x =  f(x0) * △g /  △x  + g(x0) * △f / △x +  △g * △f /  △x

那么，当△x无限小，△g * △f /  △x 变为0 ，△x无限小用dx表示，△p、 △g、△f用dp、dg、df表示。

 

 2. 函数嵌套p(x) = f(g(x))　　dp/dx = df/dg * dg/dx

例子：p(x) = f(x)ⁿ　　dp/dx = n *f(x)^(n-1) * df/dx

例子：p(x) =  sin(3x)　　dp/dx = 3 * cos(3x) ，周期缩短了3陪，但是最大值一样，那斜率自然增大3倍。

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洛必达法则：

当x趋近于0时，f(x)、g(x)也趋近于0

f(x)/g(x) = (△f /△x ) / (△g /△x )

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反函数：

y = f(x) 和 x = f ^-1(y)；

指数函数的逆函数：

f(x) = e^x　　x =  log_e f(x) = ln(f(x))

f(x) = c^x　　x = log_c(f(x))

yY = e^xe^X=e^x+X

ln(yY) = ln(e^x+X) =  x + X = lny + lnY

ln(y²) = x + x =2x = 2lny　　ln(yⁿ)=n * lny

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反函数求导

例子：

y = ax + b = f(x) 

x = f ^-1(x) = (y - b) / a  (逆过程就是乘法变除法，加法变减法，且顺序相反)

y = e^x　　ln^y = x　　求导：x' = d(ln^y) / dy  * dy / dx = 1　　已知 dy / dx =e^x　　那么d (ln^y) / dy = 1 / e^x

^{所以 (lny)' =  1 / y}

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y  = sin(x) 　　x = sin^-1(y) = arcsin(y)

y = sin (sin^-1(y))

两边对y求导：

1 = cos(sin^-1(y)) * dsin^-1(y) / dy  = cosθ * dsin^-1(y) / dy

cosθ  = Sqrt(1 - y ²) 

所以：

 dsin^-1(y) / dy = 1 /  Sqrt(1 - y ²) 

 

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 已知 f'(a) 的值，也已知x的值，求f(x)

当x接近a的时候，有： df / dx = f '(a) ≈ [ f(x) - f(a) ] / ( x - a )  

f(x) ≈ f(a) + ( x - a ) * f ' (a) （1）

已知 F(x) = 0，求 x： x - a  ≈  - F(a) / F ' (a)　　（2）

例子：

求Sqrt(9.06)的值。f(x) = x^1/2f ' = 1 / 2 *  x^-1/2

那么，可以选择 a = 9　　f(a) = 3　　f '( a) = 1 / 6

由（1）式得：

f(9.06) = 3 + 0.06 * 1 / 6 = 3.01

图像：

还可以：

F(x)  = x² - 9.06 = 0  求x的解

令 a = 3

F(a) = 9 - 9.06 = -0.06

F'(a) = 2a = 6

根据（2）式子

x - 3 = - 0.06 / 6 = 0.01 　　x = 3.01

所以，可以继续使得

a = 3.01　　F(a) = 0.0001　　F'(a) = 2a = 6.02　　x = ???

直到 x - a 的值接近0；

这就是牛顿法了

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f(x) =  f(x₀ + △x)

f(x₀ + △x) = f(x₀) + ∫  f '(x) dx  积分区间（x_0，x₀ + △x）

*还记得速度的积分（从0~t1），就是t1处的里程吗？（三角形面积值，是f(t1)值）

*再解析浅一点，从0~t1积分，就是f(t1)；从0~t2积分，就是f(t2)；从t1~t2，就是△f  = f(t2) - f(t1)；（梯形面积，也就是两f(t1)、f(t2)值相减）

*从x_{0 ~} x₀ + △x，就是△f  = f(x₀ + △x) - f(x₀ )；

所以：f(x₀ + △x) = f(x₀) + ∫  f '(x) dx  积分区间（x_0，x₀ + △x）

而 f '(x)  = ∫  f ''(x) dx  + f '(x₀)

代入得：f(x₀ + △x) = ∫ (∫  f ''(x) dx  + f '(x₀)) dx +   f(x₀) 

其中

∫ (∫  f ''(x) dx  + f '(x₀)) dx = ∫ （∫  f ''(x) dx）dx + ∫ f '(x₀) dx  

其中

∫ f '(x₀) dx  = f '(x₀) * △x = f '(x₀) (x - x₀) 对一个常数 f '(x₀)进行积分，就是求矩形面积

其中

∫ （∫  f ''(x) dx）dx  ,   f ''(x)  = ∫  f '''(x) dx  + f ''(x₀)，代入∫ （∫  （∫  f '''(x) dx  + f ''(x₀)） dx）dx

其中 ∫ (∫   f ''(x₀) dx）dx ，将f ''(x₀) 视为常数，  ∫  f ''(x₀) dx  =  f ''(x₀) (x - x₀)

代入得 ∫ f ''(x₀) (x - x₀) dx = (x - x₀) ²/ 2 * f ''(x₀) 

至此，f(x) =  f(x₀ + △x) = f(x₀) +  f '(x₀) (x - x₀) +  (x - x₀) ²/ 2 * f ''(x₀)  + ∫ ∫ ∫  f '''(x) dx dxdx

对∫ ∫ ∫  f '''(x) dxdxdx 再次分解

 ∫ ∫ ∫  [ f '''(x₀) + ∫ f ''''(x)dx ]dxdxdx =  ∫ ∫ ∫  f '''(x₀)dxdxdx + ∫ ∫ ∫ ∫ f ''''(x)dxdxdxdx

∫ ∫ ∫  f '''(x₀)dxdxdx = f '''(x₀) *  ∫ ∫ ( x - x₀)dxdx =  f '''(x₀) * ∫ ( x - x₀)²  / 2 dx  =  f '''(x₀) * ( x - x₀)³  / ( 3 * 2) 

至此，f(x) =  f(x₀ + △x) = f(x₀) +  f '(x₀) (x - x₀) +  (x - x₀) ²/ 2 * f ''(x₀)  + f '''(x₀) * ( x - x₀)³  / ( 3 * 2)  + ∫ ∫ ∫ ∫ f ''''(x)dxdxdxdx

也可以从另一个思想推导泰勒公式：

比如有一个函数，f(x) ，我们要仿造一个函数 g(x) ，在X₀附近， 要无限接近f(x)。那我们就可以，预测X₀附近的 f(x) 的值了，非常好！

那么，假设f(x)能求n阶导数，n可以是任意的，其最终大小视f(x)而定，需要有：

f(X₀) = g(X₀)

f '(X₀)  = g '(X₀)

f ''(X₀)  = g ''(X₀)

……

f ⁿ(X₀)  = g ⁿ(X₀)

那么，可以猜想，g(x)又可以求高阶层导数，会不会是：

g(x) = a₀ + a₁x +   a₂x²  +  a₃x³  +a₄x⁴  + ……a_nxⁿ 

例子：

拿cosX，在X = 0处的近似：

求一阶：

原曲线： f(x) = cosx

仿曲线：f(x) ≈ g(x)  = a₀ + a₁x

满足：

f(0) = g(0)

f '(0)  = g '(0)

解得 g(x) = 1

仅仅是一条直线，在x = 0附近，一点都不像，g(x)只有在X=0处能近似f(x)。

继续，求二阶： 

仿曲线：f(x) ≈ g(x) = a₀  +  a₁x +   a₂x²

满足：

f(0) = g(0)

f '(0)  = g '(0)

f ''(0)  = g ''(0)

解得：g(x) = 1 - 1 / 2  x² 

很好，在x = 0附近已经可以近似用 g(x)代替了。只要x离开x = 0不远，可以用g(x)代替。并且可以看出，对于其他的x = Xn，只要解出属于Xn的各个a₀ , a₁ , a₂ 就可以模拟Xn附近的函数值了。

这是一个非常重要的信息，只要离x = Xn足够近，只要解出属于Xn的各个a₀ , a₁ , a₂，甚至不需要求很高阶，亦可以满足要求g(x) 无限接近 f(x)。

如果我们继续，求三阶：

仿曲线：f(x) ≈ g(x) = a₀  +  a₁x +   a₂x²+  a₃x³

满足：

f(0) = g(0)

f '(0)  = g '(0)

f ''(0)  = g ''(0)

f '''(0)  = g '''(0)

解得：g(x) = 1 - 1 / 2  x²  + 1 / 2 x⁴

至此，我们有理由相信，只要仿曲线g(x)的阶数够高，无论x离 x = 0多远都好，也就是任意的x = Xn，都能满足g(x)无限接近f(x)。

.

..

...

那猜想一下，泰勒公式的通式：

 f(x) ≈ g(x) = f(0) + f¹(0) / 1! *x +   f²(0) / 2! *x² + ……+  fⁿ(0) / n! xⁿ

因为

g(0) = f(0) , 

gⁿ(0) = fⁿ(0) , 这里比较考究，因为求导第n阶导数的时候，前面的各项已经被消为0了。而对xⁿ 的各阶求导，剩下n! 这个乘数，最终要留下fⁿ(0)，那么an只能等于fⁿ(0) / n! 。

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..

...

前面提及，如果我不想在x = 0处研究泰勒公式，要想在x = X₀ 处研究，那么，自然各个fⁿ(0)得替换为fⁿ(X₀)。这样的好处，上面提及了，可以不用展开那么多项；

其次，原公式中，各个x项，是相对于x = 0的，也就是x = x - 0，那现在替换为 x = x - X₀

那么，在x = X₀ 附近的泰勒展开式：f(x) ≈ g(x) = f(X₀) + f¹(X₀) / 1! *(x - X₀) +   f²(X₀) / 2! *(x - X₀)² + ……+  fⁿ(X₀) / n! *(x - X₀)ⁿ

.

..

...

泰勒公式，还可以用来线性化函数

例如:

f(x,y) = a x²y 

想要在(X_0,Y₀)附近，求近似g(x, y)

一阶：

 f(x,y) ≈ g(x, y) =  f(X_0,Y₀) + df '(X_0,Y₀) / dx * (x - X₀) + df '(X_0,Y₀) / dy * (y - y₀)

二阶：

f(x,y) ≈ g(x, y) =   一阶 + df ''(X_0,Y₀) / dxdx / 2!  * (x - X₀)²  + df ''(X_0,Y₀) / dydy / 2!  * (y - Y₀)²+ df ''(X_0,Y₀) / dxdy / 2!  * (x - X₀) (y - Y₀) + df ''(X_0,Y₀) / dydx / 2!  * (x - X₀) (y - Y₀) 

 *df '(X_0,Y₀) / dx 的意思是，f(x,y)对x求偏导，然后，代入(X_0,Y₀)

 

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当 x₀ = 0 , △x = X 时 

对于

sin(x) = x - x³ /  3!+ x⁵ / 5!+……

cos(x) = 1 - 1/2! * x² + 1/ 4! * x³ +……

对于泰勒公式用于指数函数，得出欧拉公式：

e^ix = 1 + ix + 1/2! (ix)² + 1/3! (ix)³+……

 　 = （1 - 1/2! * x² + 1/ 4! * x³ +……）+ i *(x - x³ /  3!+ x⁵ / 5!+……)

　  = cosx + i sinx

图像：

 

*欧拉公式是傅里叶变换的基础

 

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此式子能解析所有的振动：m * d²y / dt² + 2 * r *  dy / dt  + k * y = 0 或 my'' + 2ry' + ky = 0

对于这个方程，要使得其成立的条件，有如下两种情况：

情况一： d²y / dt² =0

那么可以有 y  = c + dt 

情况二：m = 0， dy / dt = ay， a = - k / 2r

dy / dt = ay 可以有 y = e^at

情况三：r = 0，w² = k/m ，  d²y / dt² = - w²y

d²y / dt² = - w²y 可以有 y = cos(wt) 或 y = sin(wt) 或 y = c* cos(wt) + d*sint(wt)(通解)

例子一：

物体的重力为m，弹簧的弹力系数是k（每拉长一段距离，就产生多少力）

以向下的距离为正，距离为y（即弹簧自然状态时，y为0）

那么：加速度就是 y''(t) =  d²y / dt²

从而， 有 - k y = m *  d²y / dt²   (质量成加速度就是力，由于弹力总是和物体的力方向相反，所以左边加上负号)

*r代表空气阻力系数

例子二：

y = e^λt

代入公式：

mλ²e^λt   +  2 r λ e^λt + k e^λt  = 0 化简后得：mλ²+2 r λ + k = 0

 r  = ± Sqrt(r² - km) / m

使 m =1 , r = 3 , k = 8 ,解得 λ = -2 , -4， 那么通解 y(t) = Ce^-2t + De^-4t 

例子三：

当m = 1, r = 3, k = 10时，解得  λ = -3 ± i ，是虚数y(t) =Ce^(-3+i)t + De^(-3-i)t 

如果使用欧拉公式，那么：

e^it  = cos(t) + i * sin(t)

e^-it = cos(t) - i * sin(t) 

y(t) = A*e^-3tcos(t) + B *e^-3t *sin(t)

用人话来说，就是y随着时间的改变，其振动的幅度逐渐降低，直到y回到正常的范围值

例子四：

 当m = 1, r = 3, k = 10时，解得  λ1 = λ2 = -3

 y  = y(t) =Ce^-3t + De^-3t 

OK，结论就是：形如 my'' + 2ry' + ky = 0 的线性常系数微分方程，可以通过引入y = e^λt 来解决，通过求取λ，符合以上三种情况

 

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式子一： dy/dt = cy　　y(0) = ...　　y(t) = y(0) * e^ct

式子二： dy / dt = cy + s 

这个模型可以表示银行存款，c表示利率，s可以表示每次持续存入的额外数额

 

dy / dt = c  ( y + s / c )

d( y + s / c  ) / dt  = c  ( y + s / c)

因为 dy / dt = cy + s

d( y + s / c  ) / dt  = d( y + s / c  ) / dy  * dy / dt =  c  ( y + s / c)

那么，可以看出，dy / dt = c  ( y + s / c )，其实是从 (0 , y(0) + s / c )为起点的

结论：

y(t)  + s / c  = (y(0) + s / c)  e^ct (对应于式子一)

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以上说了这么多，就是说，t 时刻 y 的增长速度（dy / dt），受t时刻的状态 y(t) 的影响，所以有各种：

dy / dt = cy + s各式。

应用例子一：

假如有人口方程 p(t) ， 那么应该用什么样的微分方程，描述人口增长比较合理？

首先，我们不直接猜想P(t) ， 而是P'(t) ，这很重要，也是中心思想。解决这类问题，从猜想其变化速度入手。

dP / dt =  cP  -  sP²， c表示出生率（速度受到出生率的影响），s表示衰减因子（因为可能人太多，出现竞态）导致速度下降。

情况一：dP / dt = 0，表示人口永远不增长，人口保持稳定（或者在某个时刻t，速度变为0）

P = c / s（100亿？）

情况二：P'(0) = A， 表示我们根据历史数据，从计算的时刻t = 0开始，有一个初始速度。

 

那么，如何求解出P??

方法一：

令 y(t) = 1 / P(t)

那么 dy / dt = -1 / P²(t) * dP/ dt = (cP - sP²) / P² = s - c / p = s - cy（跟上面提到的式子非常相似）

y(t) - s / c = ( y(0) - s / c  ) e^-ct 

那将y(t)代回，即可得出P(t) ;

 

*函数在下一刻的速率，受到函数当前的值的影响，必须考虑函数本身就是 y =  a * e^cx  + b 的形式

*这个价值在于，变化的速度，最终的稳定值，会根据自身值调整

 

应用例子二：

有关捕食者和猎物的关系：猎物不够，捕食者自然减少；捕食者减少，猎物又会自动补充。

捕食者的增长速度：du / dt =  - c u +  s * u * v  ;  - c u 表示猎物减少的情况

猎物的增长速度：dv / dt =  c v - s * u * v；

 

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记住，六个最基本的导数：

xⁿ　　nx^n-1

sin x 　　cos x

cos x　　-sin x

e^cx　　ce^cx

lnx　　1/x

 

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二重积分的几何解析

 

首先，二重积分就是求不规则立方体的体积

V = ∫∫_D f(x,y) dx dy

显然，仅仅靠已知f(x, y)和一个符号D是求不到的

所以，D应该有一个范围

D = { (x,y) |   a <= x <= b  &&  φ₁(x) <=  y <= φ₂(x)}  意思是，D是x，y平面的一个封闭范围

直观告诉我，体积 = 底面积 * 高

那以X轴方向看过去，以蓝色部分为底面。

1. 先解决底面面积 S ：

在X0处，Z = f (X0, y)， 如果蓝色部分是矩形的话，也就是X是定值，那么只需要 S = Z * （φ₂(x0) - φ₁(x0)）即可。

但是，由与Z是函数，那么，所以 S = ∫ f(x0,y) dy ，积分区间（φ₂(x0) ~ φ₁(x0)）

对于每处X的截面，都有 S = ∫ f(x,y) dy，积分区间（φ₂(x0) ~ φ₁(x0)）

到此，只解决了一个底面的问题。

2. 假如从a开始，每一个△X，计算一次面积，加起来就是体积，也就是：

V = Σ S △X ， 当三角形X被切成无穷小，则有：

V = ∫ S dx ，积分区间(a ，b)

所以，求V分两步走：

1. 求S，将f(x, y) 中的x当做常数，在区间（φ₂(x) ~ φ₁(x)）求积分， 即求出F(φ₂(x)) - F(φ₁(x)) 。 F即关于y的原函数。

2. V = ∫ S dx 应该只剩x了，按老办法，对S在区间(a ，b)积分。