在频数直方图上绘制正态分布曲线

首先，了解几个相关概念。

频数：在一组样本数据中，不同的数据出现的次数有多有少，或者说它们出现的频繁程度不同，我们称每个数据出现的次数为频数。

频率：每个数据出现的次数与样本数据总量的比值为频率。

组数：把全体样本数据分成的组的个数（当数据总量在100个以内时，常常分为5～12组）。

组距：把全体样本数据分成若干个组，每个小组在x轴上的两个左右端点的距离。

极差：全体样本数据中的最大值与最小值的差。

由以上定义，可以得到下面的关系：

        频数                        极差
频率 = ————————      ，     组距 = ———————
       样本总数                      组数

 

 

频率分布直方图（Frequency distribution histogram）：

在直角坐标系中，横轴表示样本数据的连续可取数值，按数据的最小值和最大值把样本数据分为m组，使最大值和最小值落在开区间(a,b)内，a略小于样本数据的最小值，b略大于样本数据的最大值。组距为d=(b-a)/m，各数据组的边界范围按左闭右开区间，如[a,a+d），[a+d,a+2d),……[a+(m-1)d,b)。纵轴表示频率除以组距（落在各组样本数据的个数称为频数，频数除以样本总数为频率）的值，以频率和组距的商为高、组距为底的矩形在直角坐标系上来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图。

频数分布直方图：

通过长方形的高代表对应组的频数与组距的比（因为组距是一个常数，为了画图和看图方便，通常直接用高表示频数），这样的统计图称为频数分布直方图。频数分布直方图能：①清楚显示各组频数分布情况；②易于显示各组之间频数的差别。

由以上两个定义可知，频率分布直方图和频数分布直方图的关系如下：

① 二者的横坐标是一样的，都是代表样本数据，且组距相同；

② 二者的直方图的高度变化是一样的；

③ 二者的纵坐标是不一样的，前者为频率和组距的比值；后者为频数。

如下所示：

在频率分布直方图中，同时也绘制了正态分布曲线。那么，如何在频数分布直方图上绘制一条类似正态分布曲线的曲线呢？

答案是：只要把频率分布直方图中的正态分布曲线进行一定比例的放大即可。那么，这个比例到底是多少呢？下面来计算一下。

 

频率    频数 / 样本总数                 组数                                 组数
———— = —————————————— = 频数 × ————————————————— = 频数 × ————————————————————————————————————————
组距     极差 / 组数              样本总数 × 极差             样本总数 ×（样本中的最大值 - 样本中的最小值）

 

还需要注意的一点是绘图时纵坐标表示的单位高度，一般是等于多少像素。可以表示为：

           纵坐标的总体高度
单位高度 = ————————————————
           纵坐标的表示范围

假设f(x)正态分布曲线的概率密度函数，那么在频数分布直方图上绘制正态分布曲线时，曲线的瞬时值大小为：

 样本总数 × （样本中的最大值 - 样本中的最小值）        纵坐标的总体高度
———————————————————————————————————————————— × ———————————————— × 概率密度函数
                组数                             纵坐标的表示范围