用余弦定理证明海伦公式

用余弦定理证明海伦公式

前言

• 其实很早以前就像把这个记下来了，但是苦于没有时间就一直咕咕咕了……
• 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。——百度百科

海伦公式的证明

Description ：

• \[a,b,c\in \R,S_{\Delta ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \:\:\:\left(p=\frac{a+b+c}{2}\right) \]

前置知识🧀 ：

• 余弦定理 （这不显然么）
• 好吧用向量简单证明一下……
• 设三角形的三边长为 \(a,b,c\) ，其向量为 \(\vec a,\vec b,\vec c\) ，设 \(\vec c=\vec a-\vec b\) （方向自己琢磨一下吧就不赘述了）。
• 显然向量是满足乘法分配律的，所以我们将等式两边同时平方，可以得到 \({\vec c}^2={\vec a}^2+{\vec b}^2-2\cdot \vec a\vec b\)
• 因为 \({\vec c}^2={|\vec c|}^2=c^2,\vec a\vec b=|\vec a||\vec b| \cdot \cos C\)
• 所以可以得到 \(c^2=a^2+b^2-2\cdot ab\cos C\) ，得证。
• 同时，其可以变形为 \(\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2\cdot ab}\)​ 。

证明：

\[\begin{aligned} S&=\frac12 ab\cdot \sin C\\ &=\frac12 ab\cdot \sqrt{1-\cos^2C}\\ &=\frac12 ab\cdot \sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2\cdot ab}\right)^2}\\ &=\frac14 \sqrt{(2\cdot ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\\ &=\frac14 \sqrt{[(a+b)^2-c^2]\cdot [c^2-(a-b)^2]}\\ &=\frac14 \sqrt{2p\cdot 2(p-c)\cdot 2(p-b)\cdot 2(p-a)}\\ &=\sqrt{p\cdot (p-c)\cdot (p-b)\cdot (p-a)} \end{aligned} \]

证毕。

• 在上述的推导过程中，变换原理依次为：
  1. 三角形面积与正弦的关系
  2. 同角三角函数的关系
  3. 平方差公式
  4. 完全平方公式
  5. 平方差公式
• 真是简单极了