欧拉公式的证明

欧拉公式的证明

前言

• 在数学史上，有一个令人着迷的公式：

  \[e^{i\pi}+1=0 \]

  它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然常数 \(e\) ，圆周率 \(\pi\) ，虚数单位 \(i\) 和自然数的单位 \(1\) ，以及被称为人类伟大发现之一的 \(0\) 。因为它过于完美，所以数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

• 要证明上帝创造的公式了，好激动

证明：

前置知识🧀 ：​

1. 复数以及三角函数
2. 微积分以及泰勒展开

正式证明：

• 在证明欧拉公式之前，我们先来看一下这个公式：

  \[e^{i\alpha}=\cos \alpha+i\cdot \sin \alpha \]

  那么很显然，欧拉公式就是当 \(\alpha\) 取到 \(\pi\) 时的特殊情况（\(\alpha\) 为弧度制），因为 \(\cos \pi=-1,\sin \pi=0\) ，移项即可。

• 接下来证明这个公式即可。其实这个公式用处还是挺大的，因为复数有三种表示形式：坐标式，三角式和指数式，即：

  \[a+bi=r(\cos \theta+i\cdot \sin \theta)=r\cdot e^{i\theta} \]

  显然就可以看出公式成立，好吧证明一下。

• 我们设 \(f(x)=e^{ix},g(x)=\cos x+i\cdot \sin x\) ，那么如何证明这两个函数相等？

• 很显然，如果我们能够证明两个函数的图像完全一致，那么就可以说明这两个函数相等。

• 既然说到函数的图像，那么自然而然地就能想到分别将这两个函数泰勒展开，为了方便，这里就将其在 \(0\) 处展开（也称麦克劳林展开）。

• 我们分别写出这两个函数的一阶导数，二阶导数，三阶导数，四阶导数……

  将 \(f(x)\) 求导得：

  \[\begin{aligned} f'(x)&=i\cdot e^{ix}\\ f''(x)&=-e^{ix}\\ f'''(x)&=-i\cdot e^{ix}\\ f''''(x)&=e^{ix}\\ \end{aligned} \\ \vdots \]

  将 \(g(x)\) 求导得：

  \[\begin{aligned} g'(x)&=-\sin x+i\cdot \cos x\\ g''(x)&=-\cos x-i\cdot \sin x\\ g'''(x)&=\sin x-i\cdot \cos x\\ g''''(x)&=\cos x+i\cdot \sin x\\ \end{aligned} \\ \vdots \]

  我们发现，这两个函数的导数都是每四个为一个循环，并将将其麦克劳林展开式都为：

  \[h(x)=1+ix-\frac{1}{2!}x-\frac{i}{3!}x+\frac{1}{4!}x+\frac{i}{5!}x-\ldots \]

• 至此，我们就证明了 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 是相等的，即 \(e^{i\alpha}=\cos \alpha+i\cdot \sin \alpha\) ，将 \(\alpha=\pi\) 代入即可得到 \(e^{i\pi}+1=0\) 。

后话：

• 微积分无所不能！！！

• 有一说一，微积分是真的挺好用的。
• 其实，学习知识更是学习一种工具，用来满足自己对世界无穷无尽的好奇。发明知识，发明算法，就是发明了一件更为趁手的工具。而借助这件工具，许多之前看起来不可能解决的问题都能迎刃而解。