浅谈莫队分块大小
前言
- 莫队算法是一种非常经典优雅的
暴力算法
- 而在莫队算法中，最值得探讨的问题自然而然就是：这个块的大小到底应该怎么分？
- 有很多 \(OIer\) 将它看成一个玄学问题，
非常有道理，但其实我们是能够找到规律的。
普通莫队
- 普通莫队最佳分块大小为 \(\sqrt n\) 。
- 为什么？因为暴力分块的大小为 \(\sqrt n\) ？并不是。
- 那为什么？
- 我们不妨设块的大小为 \(s\) ，每个块的询问次数为 \(q_i\) ，序列长度为 \(n\) ，询问总次数为 \(m\) 。那么块的总数就是 \(\frac{n}{s}\) ，对于块 \(i\) 来说，其复杂度为 \(q_i\cdot s+n\) 。
- 那么总复杂度为 \(\sum_{i=1}^{n/s} q_i\cdot s+n=ms+n\cdot \frac{n}{s}\) 。因为一般 \(n\) 和 \(m\) 都是等数量级的，我们可以大致忽略其大小差异，所以总复杂度变为 \(n\cdot s+n^2\cdot \frac{1}{s}\) 。
- 利用基本不等式可得当 \(n\cdot s=n^2\cdot \frac{1}{s}\) 即 \(s=\sqrt n\) 时，原式有最小值 \(n\sqrt n\) 。
- 这就是普通莫队算法分块的大小以及时间复杂度的来历。
带修莫队
- 带修莫队最佳分块大小为 \(n^{\frac{2}{3}}\) ，
可惜我不会证明。- 所以我就仅仅
装模作样地分析一番。
-
一开始自学带修莫队的时候有一个疑问，为什么要将右端点也分块？
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假如右端点不分块，仍然设块的大小为 \(s\) ，序列长度为 \(n\) ，询问总次数为 \(m\) ，修改总次数为 \(k\) 。那么块的总数还是 \(\frac{n}{s}\) ，此时得到每个块 \(i\) 的时间复杂度为 \(q_i\cdot s+n+q_i\cdot k\) 。
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所以总时间复杂度为 \(\sum_{i=1}^{n/s} q_i\cdot s+n+q_i\cdot k=m\cdot s+n\cdot \frac{n}{s}+m\cdot k\) 。此时我们发现最后面的一项始终为定值，无法通过改变块的大小来改变，所以时间复杂度为 \(O(mk)\) 。
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如果分块呢？我们不妨将两个块看成一个整体，表示左右端点在这两个块里的一种情况。每个整体 \((i,j)\) 的询问次数为 \(q_{ij}\) 。但此时整体的总数就不是 \(\frac{n}{s}\) ，而是 \(\left(\frac{n}{s}\right)^2\) 了，对于块 \((i,j)\) 来说，其复杂度为 \(2\times q_{ij}\cdot s+n\) 。
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所以总时间复杂度为 \(\sum_{i=1}^{(n/s)^2} 2\times q_{ij}\cdot s+n=2\times m\cdot s+n\cdot \frac{n^2}{s^2}\) 。
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这个时候我们发现每一项都与块的大小 \(s\) 有关，故可以通过选择一个恰当的块的大小来得到最优的时间复杂度。
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\(Update\:(on\:2021.3.15)\::\) 当时可能是脑子抽了……像普通莫队一样直接用基本不等式搞上去就好了。
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忽略常数并设 \(m=n\) 可得：\(n\cdot s+\frac{n^3}{s^2}\geq \sqrt{\frac{n^4}{s}}\) ，当且仅当 \(n\cdot s=\frac{n^3}{s^2}\Rightarrow s=n^{\frac{2}{3}}\) 时取等。此时 \(\sqrt{\frac{n^4}{s}}=\sqrt{n^{\frac{10}{3}}}=n^{\frac{5}{3}}\) 。
证毕。
——2021年2月18日
