经典组合数学模型：盒子与球问题
前言
- 组合数学也是数学中一个比较重要的分支，而其中最经典的模型莫过于盒子与球问题。
问题
- 按照球是否不同，盒子是否不同，盒子是否允许为空，大致可以分为 \(2^3\)，也就是 \(8\) 种问题。
- 给定 \(N\) 个不同的球，放进 \(M\) 个不同的盒子，盒子允许为空，有多少种方案？\((A)\)
- 给定 \(N\) 个不同的球，放进 \(M\) 个不同的盒子，盒子不允许为空，有多少种方案？\((B)\)
- 给定 \(N\) 个不同的球，放进 \(M\) 个相同的盒子，盒子允许为空，有多少种方案？\((C)\)
- 给定 \(N\) 个不同的球，放进 \(M\) 个相同的盒子，盒子不允许为空，有多少种方案？\((D)\)
- 给定 \(N\) 个相同的球，放进 \(M\) 个不同的盒子，盒子允许为空，有多少种方案？\((E)\)
- 给定 \(N\) 个相同的球，放进 \(M\) 个不同的盒子，盒子不允许为空，有多少种方案？\((F)\)
- 给定 \(N\) 个相同的球，放进 \(M\) 个相同的盒子，盒子允许为空，有多少种方案？\((G)\)
- 给定 \(N\) 个相同的球，放进 \(M\) 个相同的盒子，盒子不允许为空，有多少种方案？\((H)\)
解法
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A ：给定 \(N\) 个不同的球，放进 \(M\) 个不同的盒子，盒子允许为空，有多少种方案？
对于每一个球，都有 \(M\) 种选择，所以答案即为 \(M^N\)
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F ：给定 \(N\) 个相同的球，放进 \(M\) 个不同的盒子，盒子不允许为空，有多少种方案？
经典隔板法问题，可以转化为：在 \(N\) 个球之间的 \(N-1\) 个间隙中选择 \(M-1\) 个位置将其分成 \(M\) 份，组合数直接求解。答案即为 \(C_{N-1}^{M-1}\)
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E ：给定 \(N\) 个相同的球，放进 \(M\) 个不同的盒子，盒子允许为空，有多少种方案？
和 \(F\) 题类似，只不过盒子允许为空，那么这个时候我们可以假设每个盒子里都已经放了一个球，这个时候实际上就有 \(N+M\) 个球了，类似的，我们再次使用隔板法。对于每一种方案，我们就可以想象成每个空隙右边的第一个球是提前放好在盒子里的，如果将这个球省略，正好就是盒子允许为空的一种方案。故答案即为 \(C_{N+M-1}^{M-1}\)
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G ：给定 \(N\) 个相同的球，放进 \(M\) 个相同的盒子，盒子允许为空，有多少种方案？
设 \(f[n][m]\) 表示将 \(n\) 个球放到 \(m\) 个盒子里的方案数。我们可以分两种情况来考虑：1.有一个盒子不放球的情况，那么答案就是 \(f[n][m-1]\)。2.所有的盒子都放一个球，那么答案就是 \(f[n-m][m]\)。根据加法原理，我们可以得到递推式：\(f[n][m]=f[n][m-1]+f[n-m][m],m=\min(m,n)\)。边界：\(f[0][m]=1,f[n][1]=1\)
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H ：给定 \(N\) 个相同的球，放进 \(M\) 个相同的盒子，盒子不允许为空，有多少种方案？
每个盒先放一个球，然后就可以变成问题 \(G\)。答案：\(0\quad(N<M)\) 或者 \(f[N-M][M]\)
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D ：给定 \(N\) 个不同的球，放进 \(M\) 个相同的盒子，盒子不允许为空，有多少种方案？
设 \(f[n][m]\) 表示将 \(n\) 个球放到 \(m\) 个盒子里的方案数。那么对于第 \(n\) 个球，则有两种选择：1.其单独放在一个盒子里，那么答案就是 \(f[n-1][m-1]\)。2.其和其他的球共用一个盒子，因为有 \(m\) 个盒子可以选择，那么答案就为 \(m\times f[n-1][m]\)。实际上这就是第二类斯特林数。根据加法原理，递推式为 \(f[n][m]=f[n-1][m-1]+m\cdot f[n-1][m]\)。边界：
if(m==n||m==1) return 1。 -
C ：给定 \(N\) 个不同的球，放进 \(M\) 个相同的盒子，盒子允许为空，有多少种方案？
和 \(D\) 类似，分别考虑有 \(0\sim M-1\) 个盒子为空的情况，那么答案就为 \(\sum_{i=1}^nf[n][i]\)
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B ：给定 \(N\) 个不同的球，放进 \(M\) 个不同的盒子，盒子不允许为空，有多少种方案？
和 \(D\) 题类似，假如我们现在已经得到了将 \(N\) 个不同的球放进 \(M\) 个相同的盒子里的方案，那么实际上由于盒子是不同的，那么还需要对盒子进行排序，（因为盒子有异，所以交换两个盒子的顺序算不同的方案），乘上 \(M\) 的阶乘即可。
——2021年2月9日
