证明：辗转相除法与更相减损术

辗转相除法与更相减损术的证明

前言

• 这两种方法都是用来求两个数的最大公约数，但是从时间复杂度的角度来讲，辗转相除法的效率会高于更相减损术，尤其是在两数相差比较大的时候。
• 两者证明方法类似，但因为更相减损术的证明更为简单，并且有了其基础也能更快地去理解辗转相除法，故先证明更相减损术。

更相减损术的证明：

更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。——百度百科

Description:

• \[\forall a,b\in \mathbb{N},a\geq b\:\Rightarrow gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b) \]

• \[\forall a,b\in \mathbb{N}\:\Rightarrow gcd(2a,2b)=2\cdot gcd(a,b) \]

前置芝士🧀：

• \(a|b\) 表示 \(a\) 能整除 \(b\) （\(a\) 为 \(b\) 的约数）。
• \(gcd(a,b)\) 表示 \(a,b\) 的最大公约数。
• \(a\:mod\:b\) 表示 \(a\) 除以 \(b\) 取余数。

证明：

• 显然，根据最大公约数的定义，后者是成立的，主要证明前者。
• 对于 \(a,b\) 的任意公约数 \(d\) ，因为 \(d|a,d|b\) ，所以 \(d|(a-b)\) 。（不妨设 \(a=x\cdot d,b=y\cdot d\) ，那么 \(a-b=x\cdot d-y\cdot d=(x-y)\cdot d\) ，显然 \((x-y)\cdot d\) 是 \(d\) 的倍数）
• 因为 \(d\) 是任意取的，所以可以取到整个 \(a,b\) 的公约数集合。故 \(a,b\) 的公约数集合与 \(b,a-b\) 的公约数集合相同，于是他们的最大公约数自然也相等。对于 \(a,a-b\) 同理。

证毕。

辗转相除法的证明：

辗转相除法，即欧几里得算法，同样是一种用来求两个数的最大公约数的算法，但是要比更相减损术更加高效。

Description:

• \[\forall a,b\in \mathbb{N},b\neq 0\Rightarrow gcd(a,b)=gcd(b,a\:mod\:b) \]

前置芝士🧀：

• 熟悉更相减损术的证明以及取模运算的意义。

证明：

• 若 \(a<b\) ，则 \(gcd(b,a\:mod\:b)=gcd(b,a)=gcd(a,b)\) ，命题得证。
• 若 \(a\geq b\) ，则不妨设 \(a=q\times b+r\) ，其中 \(0\leq r<b\) ，显然 \(r=a\:mod\:b\) 。对于 \(a,b\) 的任意公约数 \(d\) ，因为 \(d|a,d|(q\times b)\) ，所以 \(d|(a-q\times b)\) ，即 \(d|r\) ，因此 \(d\) 也是 \(b,r\) 的公约数。
• 故 \(a,b\) 的公约数集合与 \(b,a\:mod\:b\) 的公约数集合相同，于是他们的最大公约数自然也相等。

证毕。

2021年1月17日
——pycr