证明：数论四大定理之中国剩余定理

中国剩余定理(CRT)的证明

前言

• 作为数论四大定理之一，中国剩余定理（又名孙子定理）的重要性不言而喻，到底还是自家的东西。
• 其主要用于求解一元线性同余方程组。
• 通俗来讲，就是我们从小听到大的问题：“有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”明明一点也不通俗。用白话文来讲就是有一堆东西，三个三个地数多两个，五个五个地数多三个，七个七个地数多两个，问这堆东西一共有多少个。变成小学奥数就是什么分馒头，什么坐公交车之类的。

Description:

• 设 \(m_1,m_2,\cdots,m_n\) 是两两互质的整数，\(m=\prod_{i=1}^{n}m_i\) ，\(M_i=m/m_i\) ，\(t_i\) 是线性同余方程 \(M_it_i\equiv 1\:(mod\:m_i)\) 的一个解（即 \(M_i\) 在模 \(m_i\) 意义下的逆元）。则对于任意的 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) ，同余方程组
  \[\left\{\begin{matrix}x\equiv a_1\:&(mod\:m_1)\\ x\equiv a_2\:&(mod\:m_2)\\ \vdots&\\x\equiv a_n\:&(mod\:m_n)\\ \end{matrix}\right. \]
  有整数解为 \(ans=\sum_{i=1}^{n}a_iM_it_i\)。

证明：

• 因为 \(M_i=m/m_i\) 是除 \(m_i\) 之外所有模数的倍数，所以 \(\forall k\neq i,a_iM_it_i\equiv 0\:(mod\:m_k)\) 。
• 又因为 \(M_it_i\equiv 1\:(mod\:m_i)\) ，所以 \(a_iM_it_i\equiv a_i\:(mod\:m_i)\) 。
• 综上所述，将公式带入原方程组即能够满足所有的同余式。

证毕。

后话

• \(To\:be\:frank\)，中国剩余定理其实挺简单的，而且也比较好感性理解，最重要的是，有了这个定理，再也不用担心不会写小学奥数了。
• 但是不得不说，中国剩余定理具有一定的局限性，就是其必须要求所有的模数都互质，如果不互质的话则不能运用中国剩余定理解线性同余方程组（从逆元的角度理解也可以），但是在一般的题目都不满足互质这个性质。
• 那么这个时候我们应该怎么办？很简单，用扩展中国剩余定理 \((excrt)\) 求解就好，OI人，OI魂，OI都是人上人。
• 说是扩展中国剩余定理，但是却和中国剩余定理没有半毛钱关系，顶多也就算是求解的类型一样而已。
• 其具体思路就是将两个线性同余方程组合并成一个，然后不断两两合并，最后得解。因为不再本博客的讨论范围，在这里就不再赘述，感兴趣请自行百度。

2021年1月16日
——pycr