【NOIP2014】飞扬的小鸟
题目描述
\(Flappy Bird\) 是一款风靡一时的休闲手机游戏。玩家需要不断控制点击手机屏幕的频率来调节小鸟的飞行高度，让小鸟顺利通过画面右方的管道缝隙。如果小鸟一不小心撞到了水管或者掉在地上的话，便宣告失败。
为了简化问题，我们对游戏规则进行了简化和改编:
游戏界面是一个长为 \(n\)，高为 \(m\) 的二维平面，其中有 \(k\) 个管道（忽略管道的宽度）。
小鸟始终在游戏界面内移动。小鸟从游戏界面最左边任意整数高度位置出发，到达游戏界面最右边时，游戏完成。
小鸟每个单位时间沿横坐标方向右移的距离为 \(1\)，竖直移动的距离由玩家控制。如果点击屏幕，小鸟就会上升一定高度 \(X\)，每个单位时间可以点击多次，效果叠加；如果不点击屏幕，小鸟就会下降一定高度 \(Y\)。小鸟位于横坐标方向不同位置时，上升的高度 \(X\) 和下降的高度 \(Y\) 可能互不相同。
小鸟高度等于 \(0\) 或者小鸟碰到管道时，游戏失败。小鸟高度为 \(m\) 时，无法再上升。
现在,请你判断是否可以完成游戏。如果可以，输出最少点击屏幕数；否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。
输入输出格式
输入格式
第 \(1\) 行有 \(3\) 个整数 \(n\), \(m\), \(k\), 分别表示游戏界面的长度，高度和水管的数量，每两个整数之间用一个空格隔开；
接下来的 \(n\) 行，每行 \(2\) 个用一个空格隔开的整数 \(X\) 和 \(Y\)，依次表示在横坐标位置 \(0 \sim n-1\) 上玩家点击屏幕后，小鸟在下一位置上升的高度 \(X\)，以及在这个位置上玩家不点击屏幕时，小鸟在下一位置下降的高度 \(Y\)。
接下来 \(k\) 行，每行 \(3\) 个整数 \(P\), \(L\), \(H\),每两个整数之间用一个空格隔开。每行表示一个管道，其中 \(P\) 表示管道的横坐标，\(L\) 表示此管道缝隙的下边沿高度，\(H\) 表示管道缝隙上边沿的高度（输入数据保证 \(P\) 各不相同，但不保证按照大小顺序给出）。
输出格式
共两行。
第一行，包含一个整数，如果可以成功完成游戏，则输出 \(1\)，否则输出 \(0\)。
第二行，包含一个整数，如果第一行为 \(1\)，则输出成功完成游戏需要最少点击屏幕数，否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。
题解
我们来观察一下题目，题目中有这样一句话：
如果点击屏幕，小鸟就会上升一定高度 \(X\)，每个单位时间可以点击多次，效果叠加；如果不点击屏幕，小鸟就会下降一定高度 \(Y\)。
根据这句话，我们可以发现我们在\(i\)位置的操作分为两个部分，在位置\(i\)跳还是不跳，跳几步。这样对于跳还是不跳，我们可以看作是一个\(01\)背包，而跳几次就可以看作是一个完全背包，为了避免冲突，我们先来考虑完全背包的情况。
我们把高度看作是空间大小那么，我们可以定义状态为\(f[i][j]\)表示从起点到位置\((i, j)\)的最小步数。我们可以发现状态\(f[i][j]\)是由上一个状态跳\(k\)下转移过来的，而所谓的跳\(k\)下，我们可以用如下的状态转移方程来表示：$$f[i][j] = min(f[i - 1][j-x[i]], f[i][j - x[i])$$注意，我们观察到，我们现在的转移其实上是在\(i-1\)的位置跳了\(k\)下从而改变了\(i\)的高度，但是我们的调用的却是\(x[i]\)，这是我在做这道题时膜拜其他大佬时最不解的地方，但是，看了很多份都是这样写的，却没有说明原因，后来自己写的时候才明白过来。在题目中有这样的描述：
接下来的 \(n\) 行，每行 \(2\) 个用一个空格隔开的整数 \(X\) 和 \(Y\)，依次表示在横坐标位置 \(0 \sim n-1\) 上玩家点击屏幕后，小鸟在下一位置上升的高度 \(X\)，以及在这个位置上玩家不点击屏幕时，小鸟在下一位置下降的高度 \(Y\)。
但是，我们在储存 \(X\) 和 \(Y\) 的数组时却是这样储存的：
for(int i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
题目中描述的范围是 \(0 \sim n - 1\), 而我们储存的时候范围是\(1 \sim n\)所以我们要后移一位这也是为什么要调用而不调用\(x[i - 1]\)。
除此之外，这道题还有一个亮(keng)点，如果鸟飞到天上了怎么办，为什么它不去死，这个情况需要我们特判一下。
然后我们再来分析\(01\)背包，我们可以先发现这个状态转移方程求更好写了：$$f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j + y[i]])$$
在这之后我们需要去掉那些有水管挡住的情况，把他们都赋值为无穷大，表示无法到达。
统计答案时，我们只需要扫描一遍\(f[n][i]\)看是否能够到，最小值即为有解情况的答案，如果没有解，扫描\(0 \sim n-1\) 的所有位置，看是否有一个\(x\)的所有高度都无法到达，即为答案。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int low[10005], hight[10005], w[10005], x[10005], y[10005], f[10005][2005];
int main()
{
int n, m, k, a, b, c;
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
for(int i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
for(int i = 1; i <= n; ++ i) low[i] = 0, hight[i] = m + 1;
for(int i = 1; i <= k; ++ i)
{
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
w[a] = 1; low[a] = b, hight[a] = c;
}
for(int i = 1; i<= m; ++ i) f[0][i] = 0;
for(int i = 1; i<= n; ++ i)
{
for(int j = 1; j <= m + x[i]; ++ j) f[i][j] = min(f[i - 1][j - x[i]] + 1, f[i][j - x[i]] + 1);
for(int j = m + 1; j <= m + x[i]; ++ j) f[i][m] = min(f[i][j], f[i][m]);
for(int j = 1; j <= m - y[i]; ++ j) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j + y[i]]);
for(int j = 1; j <= low[i]; ++ j) f[i][j] = f[0][0];
for(int j = hight[i]; j <= m; ++ j) f[i][j] = f[0][0];
}
int ans = f[0][0];
for(int i = 1; i <= m; ++ i) ans = min(ans, f[n][i]);
if(ans < f[0][0])
{
printf("1\n%d\n", ans);
return 0;
}
int overtime, flag, j;
for(overtime = n; overtime >= 1; -- overtime)
{
flag = 0;
for(j = 1; j<= m; ++ j)
if(f[overtime][j] < f[0][0]) break;
if(j <= m) break;
}
ans = 0;
for(int i = 1; i <= overtime; ++ i) ans += w[i];
printf("0\n%d\n", ans);
return 0;
}
