【洛谷P3410】拍照题解（最大权闭合子图总结）
题目描述
小B有n个下属，现小B要带着一些下属让别人拍照。
有m个人，每个人都愿意付给小B一定钱让n个人中的一些人进行合影。如果这一些人没带齐那么就不能拍照，小B也不会得到钱。
注意：带下属不是白带的！！！对于每个下属，如果他带了那么小B需要给他一些钱，保证当他拍照时配合。
请问，小B的净收益最多是多少。
输入输出格式
输入格式：
第1行有2个正整数m和n（0<m,n<=100）。接下来的m行，每行是一个要求拍照的人的有关数据。第一个数是他同意支付该合影的费用；接着是该合影需要的若干下属的编号，以一个0作为行的结束标记。最后一行的n个数是带每个下属的费用。
输出格式：
一个数，表示最大收益。小B可以一个人也不带。
题解
我们把题目用图的形式表示出来：我们把所有的要求看作是点，每个要求的收益看作是这个点的点权，同理每个人也看作是点，每个人的花费的相反数看作是这个点的点权，然后在每个要求与人之间连接有向边。
就可发现，我们所求的其实就是这个图的最大权闭合子图。
首先，我们先来解释一下什么叫做闭合图，所谓最大权闭合图指的是对于一个点集，从这个点集中的点出发的所有出边所指向的点也在这个点集中，则这个点集所组成的图就是一个闭合图。举个例子来说：如下图所示，点集{1，2，3，4，5}和点集{1，2，3，4，5，6}所组成的图都是闭合图，而点集{1，2，3，5，6}就不是一个闭合图（6有一条出边指向了4，但是4没在点集中）。而所谓的最大权，就是指的这样的图中点权和最大的。
求解最大权的闭合子图我们通常是利用网络流进行求解，我们构造一个超级源点（s），把所有的点权为正的点都与之连边，边的容量为这些点的点权；再构造一个超级汇点（t），把所有的点权为负的点都与之连边，边的容量为点权的相反数，另外，这些点之间原有的边保持不变，边的容量为正无穷。即如下图（黑色为点的编号，红色为权值）：
我们来研究以下两个图之间有什么关系：
- 在第二个图中，关于s-t的最小割是简单割（割边都与S或T相连），显然他不会去割无穷大的边（黑色的边）。
- 第二个图的关于s-t的每一个简单割产生的两个子图，我们把含有S的称作S图，含有T的称作T图。则S图是闭合子图。
证明：
简单割中不包含无穷大的边（黑色的边），即不包含联通两个图的边（连接在T点上的边除外）。所以S图中的边所指向的点一定在S图中，即为闭合图。
- 最小割产生的S图和T图，S图为最大权闭合子图。
证明：
因为割集中所有的边，不是连接在s上，就是连接在t上；
我们记割集中，所有连接在s上的边的权值和为x1，所有连接在t上的边的权值和为x2，而割集中所有边权值和为X=x1+x2；
又，记图S中所有点的权值和为W，记其中正权值之和为w1，负权值之和为 - w2，故W = w1 - w2；
而 W + X = w1 - w2 + x1 + x2，由于x2 = w2
（因为图S中所有负权值的点，必然连接到t点，而图S必然要与t分割开；故割集中，“连接在t点上的边权值和”就是“图S中所有负权值点的权值之和，取负”）
因而W + X = w1 + x1；
而显然的，w1 + x1是整个图中所有正权值之和，记为SUM；
故W = SUM - X，即 “图S中所有点的权值和” = “整个图中所有正权值之和” - “割集中所有边权值和”；
然后，因为SUM为定值，只要我们取最小割，则“图S中所有点的权值和”就是最大的，即此时图S为图S为最大权闭合子图。
所以最大权闭合子图的点权之和等于收益点权之和减去最小割。
代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int w[105], c[105]; vector <int> G[105]; int n, m, x; const int inf = 0x7fffffff; class Graph{ private : int cnt; int Head[205], Next[100005], W[100005], To[100005]; int Deep[205], cur[205]; public : int s, t, n; void init() { cnt = -1; memset(Head, -1, sizeof(Head)); memset(Next, -1, sizeof(Next)); } void _Add(int u, int v, int c) { Next[++ cnt] = Head[u]; Head[u] = cnt; W[cnt] = c; To[cnt] = v; } void Add_edge(int x, int y, int w) { _Add(x, y, w); _Add(y, x, 0); } int Dfs(int u, int flow) { if(u == t) return flow; for(int & i = cur[u]; i != -1; i = Next[i]) { if(Deep[To[i]] == Deep[u] + 1 && W[i] != 0) { int di = Dfs(To[i], min(flow, W[i])); if(di > 0) { W[i] -= di; W[i ^ 1] += di; return di; } } } return 0; } int Bfs() { queue <int> q; for(; !q.empty();) q.pop(); memset(Deep, 0, sizeof(Deep)); Deep[s] = 1; q.push(s); for(; !q.empty();) { int u = q.front(), v; q.pop(); for(int i = Head[u]; i != -1; i = Next[i]) if(!Deep[v = To[i]] && W[i]) { Deep[v] = Deep[u] + 1; q.push(v); } } return Deep[t] > 0 ? 1 : 0; } int Dinic() { int ans; for(;Bfs();) { for(int i = 1; i <= n; ++ i) cur[i] = Head[i]; int d; for(;d = Dfs(s, inf);) ans += d; } return ans; } }; Graph Map; int Num = 0; int n1[105], n2[105]; void Make_picture() { Map.s = ++ Num; for(int i = 1; i <= n; ++ i) { n1[i] = ++ Num; Map.Add_edge(Map.s, Num, w[i]); } for(int i = 1; i <= m; ++ i) n2[i] = ++ Num; Map.n = Map.t = ++ Num; for(int i = 1; i <= m; ++ i) Map.Add_edge(n2[i], Map.t, c[i]); for(int i = 1; i <= n; ++ i) for(int j = 0; j < G[i].size(); ++ j) Map.Add_edge(n1[i], n2[G[i][j]], inf); return ; } int sum = 0; int main() { scanf("%d%d", &n, &m); for(int i = 1; i <= n; ++ i) { scanf("%d", &w[i]); sum += w[i]; for(;;) { scanf("%d", &x); if(!x) break; G[i].push_back(x); } } for(int i = 1; i <= m; ++ i) scanf("%d", &c[i]); Map.init(); Make_picture(); printf("%d\n", sum - Map.Dinic()); return 0; }
参考资料
[1]Dilthey's Blog:最大权闭合子图-[求最大点权的闭合子图]
[2]洛谷【P3410】拍照
