Leetcode 458. 可怜的小猪 （思维或者信息熵）

Leetcode 458. 可怜的小猪

链接：https://leetcode-cn.com/problems/poor-pigs
题意
有 buckets 桶液体，其中 正好 有一桶含有毒药，其余装的都是水。它们从外观看起来都一样。为了弄清楚哪只水桶含有毒药，你可以喂一些猪喝，通过观察猪是否会死进行判断。不幸的是，你只有 minutesToTest 分钟时间来确定哪桶液体是有毒的。

喂猪的规则如下：

选择若干活猪进行喂养
可以允许小猪同时饮用任意数量的桶中的水，并且该过程不需要时间。
小猪喝完水后，必须有 minutesToDie 分钟的冷却时间。在这段时间里，你只能观察，而不允许继续喂猪。
过了 minutesToDie 分钟后，所有喝到毒药的猪都会死去，其他所有猪都会活下来。
重复这一过程，直到时间用完。
给你桶的数目 buckets ，minutesToDie 和 minutesToTest ，返回在规定时间内判断哪个桶有毒所需的 最小 猪数。

示例 1：

输入：buckets = 1000, minutesToDie = 15, minutesToTest = 60
输出：5
示例 2：

输入：buckets = 4, minutesToDie = 15, minutesToTest = 15
输出：2
示例 3：

输入：buckets = 4, minutesToDie = 15, minutesToTest = 30
输出：2

提示：

1 <= buckets <= 1000
1 <= minutesToDie <= minutesToTest <= 100

算法

方法1：思维

先考虑二维的情况，假如有25个罐子

	15分钟死	30分钟死	45分钟死	60分钟死	60分钟活
15分钟死	0	1	2	3	4
30分钟死	5	6	7	8	9
45分钟死	10	11	12	13	14
60分钟死	15	16	17	18	19
60分钟活	20	21	22	23	24

第一只去寻找列坐标，第二只去寻找行坐标。
第一只喝下在0分钟喝下第一列的水（会在15分钟后得到结果），15分钟喝下第二列的水，30分钟喝下第三列的水，45分钟喝下第四列的水，进行k=4轮，总共有看k+ 1 = 5种状态，那便可以确定一列。

那么同理，利用第二只猪可以确定行数。
那么同理，如果有三只猪，就可以确定三维的情况了。

\(((k + 1) ^ {res}) >= n => res >= \frac{\log _{2} n}{\log _{2}(k+1)}\)

方法2：香农熵

利用香农熵，代表信息量的大小，我们可以计算明确熵值，公式为:

\[H(X)=-\sum_{x} P(x) \log _{2}[P(x)] \]

其中 \(P(x)\) 代表随机事件 \(x\) 的发生概率。
对于本题，记随机事件 \(A\) 为 \(n\) 桶水中哪一个桶有问题，概率为 \(\frac{1}{n}\) 。

\(n\)桶水中有一桶水有问题香农熵（信息量）H(A)：

\[H(A) = -\sum_{\text {i }=1}^{n} \frac{1}{n} \log _{2} \frac{1}{n} = -\left(\log _{2} \frac{1}{n}\right) \]

记随机事件 \(B\) 为在测试轮数为 \(k\) 时，所有实验对象的最终状 态，每个实验对象的状态共有 \(k+1\) 种，即共有 \(C=(k+1)^{m}\) 种最终结果，可近似看做等概率 \(\frac{1}{C}\) 。
我们需要求得在满足 \(H(A)<=H(B)\) 前提下的最小 \(m\) 值。 代入公式可得:

\[-\left(\log _{2} \frac{1}{n}\right)<=-\sum_{\text {result }=0}^{(k+1)^{m}} \frac{1}{(k+1)^{m}} \log _{2} \frac{1}{(k+1)^{m}}=m \log _{2}(k+1) \]

移项化简得:

\[\frac{\log _{2} n}{\log _{2}(k+1)}<=m \]

class Solution {
public:
    int poorPigs(int buckets, int minutesToDie, int minutesToTest) {
        return ceil(log(buckets) / log(minutesToTest / minutesToDie + 1));
    }
};