LeetCode 1997. 访问完所有房间的第一天 思维动态规划

LeetCode 1997. 访问完所有房间的第一天

题目描述

你需要访问 n 个房间，房间从 0 到 n - 1 编号。同时，每一天都有一个日期编号，从 0 开始，依天数递增。你每天都会访问一个房间。

最开始的第 0 天，你访问 0 号房间。给你一个长度为 n 且 下标从 0 开始 的数组 nextVisit。在接下来的几天中，你访问房间的 次序 将根据下面的 规则 决定：

假设某一天，你访问 i 号房间。
如果算上本次访问，访问 i 号房间的次数为 奇数，那么 第二天 需要访问 nextVisit[i] 所指定的房间，其中 0 <= nextVisit[i] <= i。
如果算上本次访问，访问 i 号房间的次数为 偶数，那么 第二天 需要访问 (i + 1) mod n 号房间。
请返回你访问完所有房间的第一天的日期编号。题目数据保证总是存在这样的一天。由于答案可能很大，返回对 10^9 + 7 取余后的结果。

样例
输入：nextVisit = [0,0]
输出：2
解释：

• 第 0 天，你访问房间 0。访问 0 号房间的总次数为 1，次数为奇数。
  下一天你需要访问房间的编号是 nextVisit[0] = 0
• 第 1 天，你访问房间 0。访问 0 号房间的总次数为 2，次数为偶数。
  下一天你需要访问房间的编号是 (0 + 1) mod 2 = 1
• 第 2 天，你访问房间 1。这是你第一次完成访问所有房间的那天。
  输入：nextVisit = [0,0,2]
  输出：6
  解释：
  你每天访问房间的次序是 [0,0,1,0,0,1,2,...]。
  第 6 天是你访问完所有房间的第一天。
  输入：nextVisit = [0,1,2,0]
  输出：6
  解释：
  你每天访问房间的次序是 [0,0,1,1,2,2,3,...]。
  第 6 天是你访问完所有房间的第一天。
  限制
  n == nextVisit.length
  2 <= n <= 10^5
  0 <= nextVisit[i] <= i

算法

(动态规划)

1. 本题的重要条件0 <= nextVisit[i] <= i，说明 i只能由i - 1到达，且必须是偶数次访问i-1,且可以推断出必须经过两次i-1才能到达i。

2. 状态表示：f(i)为第一次访问第i房间时的日期。

3. 状态转移：f(i) = 第二次访问i-1房天数 + 1

   • 第一次到达第i - 1个房间的步数f(i - 1)

   • 第二次到达第i - 1个房间的步数，我们第一次到达了第i - 1个房间，下一步必然是走到t = nextVisit[i - 1]号房间，推断0~i-2房间访问的次数均为偶数(可视化0次）相当于从新开始，但是0到t可以忽略，f(i - 1) - t + 1,加的步骤。加 1是需要补上从是需要补上从i到到t的那一步。

     \[f(i - 1) - f(t) + 1 \]

   • 到达第i个房间的一步。

   • 答案汇总： f[i] = 2 * f[i - 1] - f[t] + 2

4. 初始化：f(0)=0，可以理解为第一次访问第 0个房间仅需 0 天。

时间复杂度

• 状态数为 \(O(n)\) ，转移时间为常数，故总时间复杂度为 \(O(n)\) 。

空间复杂度

• 需要 \(O(n)\) 的额外空间存储状态。

class Solution {
public:
    int firstDayBeenInAllRooms(vector<int>& nextVisit) {
        const int mod = 1000000007;
        int n = nextVisit.size();
        vector<int> f(n);
        f[0] = 0;
        for(int i = 1; i < n; i++){
            int t = nextVisit[i - 1];
            f[i] = (2 * f[i - 1] - f[t] + 2) % mod;
            if(f[i] < 0) f[i] += mod;
        }
        return f[n - 1];
    }
};