蒙特卡罗（洛）模拟
引例
布丰投针实验
法国数学家布丰（1707-1788）最早设计了投针试验。
这一方法的步骤是：
1） 取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。
2） 取一根长度为l（l≤a） 的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m。
3）计算针与直线相交的概率．
18世纪，法国数学家布丰提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l（l≤a）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。”
布丰本人证明了，这个概率是：
\[p=\frac{2l}{\pi a}
\]
(其中π为圆周率）
由于它与π有关，于是人们想到利用投针试验来估计圆周率的值。
布丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于a/2，那么有利扔出的概率为1/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值。
下面是利用这个公式，用概率的方法得到圆周率的近似值的一些资料。
| 试验者 | 时间 | 投掷次数 | 相交次数 | 圆周率估计值 |
|---|---|---|---|---|
| Wolf | 1850年 | 5000 | 2532 | 3.1596 |
| Smith | 1855年 | 3204 | 1218.5 | 3.1554 |
| C.De Morgan | 1860年 | 600 | 382.5 | 3.137 |
| Fox | 1884年 | 1030 | 489 | 3.1595 |
| Lazzerini | 1901年 | 3408 | 1808 | 3.1415929 |
| Reina | 1925年 | 2520 | 859 | 3.1795 |
证明
代码
%% 蒙特卡罗用于布丰投针实验
%% （1）预备知识
% rand(m,n)函数产生由在[0,1]之间均匀分布的随机数组成的m行n列的矩阵（或称为数组）。
rand(5,4)
% 0.8300 0.1048 0.2396 0.4398
% 0.5663 0.1196 0.8559 0.5817
% 0.9281 0.2574 0.3013 0.9355
% 0.3910 0.3173 0.2108 0.1676
% 0.3645 0.4372 0.8819 0.9232
rand(3) % 若只给一个输入，则会生成一个方阵
% 0.1709 0.4951 0.0541
% 0.9374 0.8500 0.6155
% 0.2400 0.3156 0.5741
% a + rand(m,n)*(b-a) 可以输出在[a,b]之间均匀分布的随机数组成的m行n列的矩阵。
-2 + rand(3,2) * (2 - (-2)) % 输出在[-2,2]之间均匀分布的随机数组成的3行2列的矩阵。
% -1.2743 0.6013
% -1.3084 0.0766
% 1.5075 0.7563
% a + rand(m,n)*(b-a)等价于unifrnd(a,b,m,n)
unifrnd(-2,2,3,2)
%% （2）代码部分
l = 0.520; % 针的长度（任意给的）
a = 1.314; % 平行线的宽度(大于针的长度l即可)
n = 1000000; % 做n次投针试验，n越大求出来的pi越准确
m = 0; % 记录针与平行线相交的次数
x = rand(1, n) * a / 2 ; % 在[0, a/2]内服从均匀分布随机产生n个数， x中每一个元素表示针的中点和最近的一条平行线的距离
phi = rand(1, n) * pi; % 在[0, pi]内服从均匀分布随机产生n个数，phi中的每一个元素表示针和最近的一条平行线的夹角
% axis([0,pi, 0,a/2]); box on; % 画一个坐标轴的框架，x轴位于0-pi，y轴位于0-a/2， 并打开图形的边框
for i=1:n % 开始循环，依次看每根针是否和直线相交
if x(i) <= l / 2 * sin(phi (i)) % 如果针和平行线相交
m = m + 1; % 那么m就要加1
% plot(phi(i), x(i), 'r.') % 模仿书上的那个图，横坐标为phi，纵坐标为x , 用红色的小点进行标记
% hold on % 在原来的图形上继续绘制
end
end
p = m / n; % 针和平行线相交出现的频率
mypi = (2 * l) / (a * p); % 我们根据公式计算得到的pi
disp(['蒙特卡罗方法得到pi为：', num2str(mypi)])
%% （3） 由于一次模拟的结果具有偶然性，因此我们可以重复100次后再来求一个平均的pi
result = zeros(100,1); % 初始化保存100次结果的矩阵
l = 0.520; a = 1.314;
n = 1000000;
for num = 1:100
m = 0;
x = rand(1, n) * a / 2 ;
phi = rand(1, n) * pi;
for i=1:n
if x(i) <= l / 2 * sin(phi (i))
m = m + 1;
end
end
p = m / n;
mypi = (2 * l) / (a * p);
result(num) = mypi; % 把求出来的myphi保存到结果矩阵中
end
mymeanpi = mean(result); % 计算result矩阵中保存的100次结果的均值
disp(['蒙特卡罗方法得到pi为：', num2str(mymeanpi)])
蒙特卡罗方法概述
定义
蒙特卡罗⽅法⼜称统计模拟法，是⼀种随机模拟⽅法，以概率和统计理论⽅法为基础的⼀种计算⽅法，是使⽤随机数 （或更常⻅的伪随机数）来解决很多计算问题的⽅法。将所求解的问题同⼀定的概率模型相联系，⽤电⼦计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这⼀⽅法的概率统计特征，故借⽤赌城蒙特卡罗命名。
提出
蒙特卡罗⽅法于20世纪40年代美国在第⼆次世界⼤战中研制原⼦弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J. 冯·诺伊曼⾸先提出。数学家冯·诺伊曼⽤驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种⽅法，为它蒙上了⼀ 层神秘⾊彩。在这之前，蒙特卡罗⽅法就已经存在。1777年，法国Buffon提出⽤投针实验的⽅法求圆周率，这被认 为是蒙特卡罗⽅法的起源。
原理
由⼤数定理可知，当样本容量⾜够⼤时，事件的发⽣频率即为其概率。
讨论
-
蒙特卡罗是⼀种算法吗 ?
算法（Algorithm）是指解题⽅案的准确⽽完整的描述，是⼀系列解决问题的清晰指令。蒙特卡罗准确的来说只是⼀ 种思想，或者是是⼀种⽅法。如果我们所求解的问题与概率模型有⼀定的关联，那么我们就可以使⽤计算机多次模拟事 件发⽣，以获得问题的近似解。从数学建模⻆度来看，⼤家千万别认为蒙特卡罗有⼀个通⽤的代码。每个问题对应的代 码都是不同的，我们分析清楚题⽬后，就要⾃⼰进⾏编写适⽤于这个题⽬的代码。
-
蒙特卡罗与计算机仿真的关系
计算机仿真（模拟）早期称为蒙特卡罗⽅法，是⼀⻔利⽤随机数实验求解随机问题的⽅法，其主要应⽤在复杂问题的数 值模拟上。但随着计算机的性能的提⾼以及各种新兴产业的发展，⽬前计算机仿真涉及的内容要⼴得多，例如过程控制、动 画仿真、图像静态模拟等都属于计算机仿真的应⽤（例如⽤计算机模拟原⼦弹爆炸的过程、使⽤计算机⽣成特效⼤⽚等）。 在数学建模中，我们不⽤刻意的去区分两者的区别，⼤家只需要知道如何使⽤计算机对问题进⾏模拟即可。
-
蒙特卡罗与枚举法
枚举法是我们中学就接触的算法，就是把所有可能发⽣情况都考虑进去，最终计算出来⼀个确定结果。这就与蒙特卡罗 ⽅法的想法很类似，蒙特卡罗法模拟的次数越多，计算的就越准确。由于⽣活中有许多事件发⽣的结果都有⽆限种可能（例如⼀个连续分布的取值）,因此我们不可能枚举出所有的结果，这时候就只能通过蒙特卡罗模拟，将⼀个不确定性的问题转 化成很多个确定性问题，并得到⼀个近似解，因此蒙特卡罗算法也可以看成是枚举法的⼀种变异。
已经学过的例⼦
第⼀期 视频 (AOL) 第七讲 : 多元回归分析
探究内⽣性对回归结果的影响
第⼀期 视频 (AOL) 番外篇 : 基于熵权法对印的模型的修正
信息熵和标准差的关系
蒙特卡罗⽅法 的应⽤实例
三⻔问题
你参加⼀档电视节⽬，节⽬组提供了ABC三扇⻔， 主持⼈告诉你，其中⼀扇⻔后边有辆汽⻋，其它两扇⻔ 后是空的。 假如你选择了B⻔，这时，主持⼈打开了C⻔，让你 看到C⻔后什么都没有，然后问你要不要改选A⻔？
有约束的⾮线性规划问题
代码
%% 蒙特卡罗求解有约束的非线性规划问题
% max f(x) = x1*x2*x3
% s.t.
% (1) -x1+2*x2+2*x3>=0
% (2) x1+2*x2+2*x3<=72
% (3) x2<=20 & x2>=10
% (4) x1-x2 == 10
%% （1）预备知识
% (1) format long g 可以将Matlab的计算结果显示为一般的长数字格式（默认会保留四位小数，或使用科学计数法）
5/7
5895*514100
format long g
5/7
5895*514100
% (2)unifrnd(a,b,m,n)可以输出在[a,b]之间均匀分布的随机数组成的m行n列的矩阵。(等价于 a + rand(m,n)*(b-a))
unifrnd(0,5,4,3)
% 4.07361843196589 3.16179623112705 4.78753417717149
% 4.5289596853781 0.487702024997048 4.82444267599638
% 0.63493408146753 1.39249109433524 0.788065408387741
% 4.5668792806951 2.73440759602492 4.85296390880308
%% （2）代码部分
clc,clear;
tic %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
n=10000000; %生成的随机数组数
x1=unifrnd(20,30,n,1); % 生成在[20,30]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x1
x2=x1 - 10;
x3=unifrnd(-10,16,n,1); % 生成在[-10,16]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x3
fmax=-inf; % 初始化函数f的最大值为负无穷（后续只要找到一个比它大的我们就对其更新）
for i=1:n
x = [x1(i), x2(i), x3(i)]; %构造x向量, 这里千万别写成了：x =[x1, x2, x3]
if (-x(1)+2*x(2)+2*x(3)>=0) & (x(1)+2*x(2)+2*x(3)<=72) % 判断是否满足条件
result = x(1)*x(2)*x(3); % 如果满足条件就计算函数值
if result > fmax % 如果这个函数值大于我们之前计算出来的最大值
fmax = result; % 那么就更新这个函数值为新的最大值
X = x; % 并且将此时的x1 x2 x3保存到一个变量中
end
end
end
disp(strcat('蒙特卡罗模拟得到的最大值为',num2str(fmax)))
disp('最大值处x1 x2 x3的取值为：')
disp(X)
toc %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
%% （3）缩小范围重新模拟得到更加精确的取值
clc,clear;
tic %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
n=10000000; %生成的随机数组数
x1=unifrnd(22,23,n,1); % 生成在[22,23]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x1
x2=x1 - 10;
x3=unifrnd(11,13,n,1); % 生成在[11,13]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x3
fmax=-inf; % 初始化函数f的最大值为负无穷（后续只要找到一个比它大的我们就对其更新）
for i=1:n
x = [x1(i), x2(i), x3(i)]; %构造x向量, 这里千万别写成了：x =[x1, x2, x3]
if (-x(1)+2*x(2)+2*x(3)>=0) & (x(1)+2*x(2)+2*x(3)<=72) % 判断是否满足条件
result = x(1)*x(2)*x(3); % 如果满足条件就计算函数值
if result > fmax % 如果这个函数值大于我们之前计算出来的最大值
fmax = result; % 那么就更新这个函数值为新的最大值
X = x; % 并且将此时的x1 x2 x3保存到一个变量中
end
end
end
disp(strcat('蒙特卡罗模拟得到的最大值为',num2str(fmax)))
disp('最大值处x1 x2 x3的取值为：')
disp(X)
toc %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
书店 买书 问题 ( 0 - 1 规划)(无脑)
%% 书店买书问题的蒙特卡罗的模拟
%% （1）预备知识
% (1)unique函数: 剔除一个矩阵或者向量的重复值，并将结果按照从小到大的顺序排列
% adj. 唯一的; 独一无二的 [ju'ni:k]
unique([1 2 5; 6 8 9;2 4 6])
unique([5 6 8 8 4 1 6 2 2 4 8 4 5 6])
% (2)randi([a,b],m,n)函数可在指定区间[a,b]内随机取出大小为m*n的整数矩阵
randi([-5,5],2,6)
%% （2）代码求解
min_money = +Inf; % 初始化最小的花费为无穷大，后续只要找到比它小的就更新
min_result = randi([1, 6],1,5); % 初始化五本书都在哪一家书店购买，后续我们不断对其更新
%若min_result = [5 3 6 2 3]，则解释为：第1本书在第5家店买，第2本书在第3家店买，第3本书在第6家店买，第4本书在第2家店买，第5本书在第3家店买
n = 100000; % 蒙特卡罗模拟的次数
M = [18 39 29 48 59
24 45 23 54 44
22 45 23 53 53
28 47 17 57 47
24 42 24 47 59
27 48 20 55 53]; % m_ij 第j本书在第i家店的售价
freight = [10 15 15 10 10 15]; % 第i家店的运费
for k = 1:n % 开始循环
result = k([1, 6],1,5); % 在1-6这些整数中随机抽取一个1*5的向量，表示这五本书分别在哪家书店购买
index = unique(result); % 在哪些商店购买了商品，因为我们等下要计算运费
money = sum(freight(index)); % 计算买书花费的运费
% 计算总花费：刚刚计算出来的运费 + 五本书的售价
for i = 1:5
money = money + M(result(i),i);
end
if money < min_money % 判断刚刚随机生成的这组数据的花费是否小于最小花费，如果小于的话
min_money = money % 我们更新最小的花费
min_result = result % 用这组数据更新最小花费的结果
end
end
min_money % 18+39+48+17+47+20
min_result
导弹追踪问题
%% 蒙特卡罗用于模拟导弹追击问题
clear;clc
%% （1）预备知识
% mod(m,n)表示求m/n的余数
mod(8,3)
mod(1000,50)
% 设置横纵坐标的范围并标上字符
x = 1:0.01:3;
y = x .^ 2;
plot(x,y) % 画出x和y的图形
axis([0 3 0 10]) % 设置横坐标范围为[0, 3] 纵坐标范围为[0, 10]
pause(3) % 暂停3秒后再继续接下来的命令
text(2,4,'清风') % 在坐标为(2,4)的点上标上字符串：清风
close % 关闭图形窗口
%% (2) 代码求解
% 1. 不画追击的示意图
clear;clc
v=200; % 任意给定B船的速度（后期我们可以再改的）
dt=0.0000001; % 定义时间间隔
x=[0,20]; % 定义导弹和B船的横坐标分别为x(1)和x(2)
y=[0,0]; % 定义导弹和B船的纵坐标分别为y(1)和y(2)
t=0; % 初始化导弹击落B船的时间
d=0; % 初始化导弹飞行的距离
m=sqrt(2)/2; % 将sqrt(2)/2定义为一个常量，使后面看起来很简洁
dd=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2); % 导弹与B船的距离
while(dd>=0.001) % 只要两者的距离足够大，就一直循环下去。（两者距离足够小时表示导弹击中，这里的临界值要结合dt来取，否则可能导致错过交界处的情况）
t=t+dt; % 更新导弹击落B船的时间
d=d+3*v*dt; % 更新导弹飞行的距离
x(2)=20+t*v*m; y(2)=t*v*m; % 计算新的B船的位置 （注：m=sqrt(2)/2）
dd=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2); % 更新导弹与B船的距离
tan_alpha=(y(2)-y(1))/(x(2)-x(1)); % 计算斜率，即tan(α)
cos_alpha=sqrt(1/(1+tan_alpha^2)); % sec(α)^2 = (1+tan(α)^2)
sin_alpha=sqrt(1-cos_alpha^2); % sin(α)^2 +cos(α)^2 = 1
x(1)=x(1)+3*v*dt*cos_alpha; y(1)=y(1)+3*v*dt*sin_alpha; % 计算新的导弹的位置
if d>50 % 导弹的有效射程为50个单位
disp('导弹没有击中B船');
break; % 退出循环
end
if d<=50 & dd<0.001 % 导弹飞行的距离小于50个单位且导弹和B船的距离小于0.001（表示击中）
disp(['导弹飞行',num2str(d),'单位后击中B船'])
disp(['导弹飞行的时间为',num2str(t*60),'分钟'])
end
end
% 2. 画追击的示意图
clear;clc
v=200; % 任意给定B船的速度（后期我们可以再改的）
dt=0.0000001; % 定义时间间隔
x=[0,20]; % 定义导弹和B船的横坐标分别为x(1)和x(2)
y=[0,0]; % 定义导弹和B船的纵坐标分别为y(1)和y(2)
t=0; % 初始化导弹击落B船的时间
d=0; % 初始化导弹飞行的距离
m=sqrt(2)/2; % 将sqrt(2)/2定义为一个常量，使后面看起来很简洁
dd=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2); % 导弹与B船的距离
for i=1:2
plot(x(i),y(i),'.k','MarkerSize',1); % 画出导弹和B船所在的坐标，点的大小为1，颜色为黑色(k)，用小点表示
grid on; % 打开网格线
hold on; % 不关闭图形，继续画图
end
axis([0 30 0 10]) % 固定x轴的范围为0-30 固定y轴的范围为0-10
k = 0; % 引入一个变量 为了控制画图的速度（因为Matlab中画图的速度超级慢）
while(dd>=0.001) % 只要两者的距离足够大，就一直循环下去。（两者距离足够小时表示导弹击中，这里的临界值要结合dt来取，否则可能导致错过交界处的情况）
t=t+dt; % 更新导弹击落B船的时间
d=d+3*v*dt; % 更新导弹飞行的距离
x(2)=20+t*v*m; y(2)=t*v*m; % 计算新的B船的位置 （注：m=sqrt(2)/2）
dd=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2); % 更新导弹与B船的距离
tan_alpha=(y(2)-y(1))/(x(2)-x(1)); % 计算斜率，即tan(α)
cos_alpha=sqrt(1/(1+tan_alpha^2)); % 利用公式：sec(α)^2 = (1+tan(α)^2) 计算出cos(α)
sin_alpha=sqrt(1-cos_alpha^2); % 利用公式： sin(α)^2 +cos(α)^2 = 1 计算出sin(α)
x(1)=x(1)+3*v*dt*cos_alpha; y(1)=y(1)+3*v*dt*sin_alpha; % 计算新的导弹的位置
k = k +1 ;
if mod(k,500) == 0 % 每刷新500次时间就画出下一个导弹和B船所在的坐标 mod(m,n)表示求m/n的余数
for i=1:2
plot(x(i),y(i),'.k','MarkerSize',1);
hold on; % 不关闭图形，继续画图
end
pause(0.001); % 暂停0.001s后再继续下面的操作
end
if d>50 % 导弹的有效射程为50个单位
disp('导弹没有击中B船');
break; % 退出循环
end
if d<=50 & dd<0.001 % 导弹飞行的距离小于50个单位且导弹和B船的距离小于0.001（表示击中）
disp(['导弹飞行',num2str(d),'个单位后击中B船'])
disp(['导弹飞行的时间为',num2str(t*60),'分钟'])
end
end
作业
作业1
%% 蒙特卡罗求解非线性规划问题
% min f(x) =2*(x1^2)+x2^2-x1*x2-8*x1-3*x2
% s.t.
% (1) 3*x1+x2>9
% (2) x1+2*x2<16
% (3) x1>0 & x2>0
%% （1）初次寻找最小值的代码
clc,clear;
format long g %可以将Matlab的计算结果显示为一般的长数字格式（默认会保留四位小数，或使用科学计数法）
tic %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
n=10000000; %生成的随机数组数
x1=unifrnd(0,16,n,1); % 生成在[0,16]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x1
x2=unifrnd(0,8,n,1); % 生成在[0,8]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x2
fmin=+inf; % 初始化函数f的最小值为正无穷（后续只要找到一个比它小的我们就对其更新）
for i=1:n
x = [x1(i), x2(i)]; %构造x向量, 这里千万别写成了：x =[x1, x2]
if (3*x(1)+x(2)>9) & (x(1)+2*x(2)<16) % 判断是否满足条件
result = 2*(x(1)^2)+x(2)^2-x(1)*x(2)-8*x(1)-3*x(2); % 如果满足条件就计算函数值
if result < fmin % 如果这个函数值小于我们之前计算出来的最小值
fmin = result; % 那么就更新这个函数值为新的最小值
X = x; % 并且将此时的x1 x2 保存到相应的变量中
end
end
end
disp(strcat('蒙特卡罗模拟得到的最小值为',num2str(fmin)))
disp('最小值处x1 x2的取值为：')
disp(X)
toc %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
%% （2）缩小范围重新模拟得到更加精确的取值
clc,clear;
tic %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
n=10000000; %生成的随机数组数
x1=unifrnd(2,3,n,1); % 生成在[2,3]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x1
x2=unifrnd(2,3,n,1); % 生成在[2,3]之间均匀分布的随机数组成的n行1列的向量构成x2
fmin=+inf; % 初始化函数f的最小值为正无穷（后续只要找到一个比它小的我们就对其更新）
for i=1:n
x = [x1(i), x2(i)]; %构造x向量, 这里千万别写成了：x =[x1, x2]
if (3*x(1)+x(2)>9) & (x(1)+2*x(2)<16) % 判断是否满足条件
result = 2*(x(1)^2)+x(2)^2-x(1)*x(2)-8*x(1)-3*x(2); % 如果满足条件就计算函数值
if result < fmin % 如果这个函数值小于我们之前计算出来的最小值
fmin = result; % 那么就更新这个函数值为新的最小值
X = x; % 并且将此时的x1 x2 保存到相应的变量中
end
end
end
disp(strcat('蒙特卡罗模拟得到的最小值为',num2str(fmin)))
disp('最小值处x1 x2的取值为：')
disp(X)
toc %计算tic和toc中间部分的代码的运行时间
作业2
某设备上安装有四只型号规格完全相同的电子管，已知电子管寿命（假定为整数）为1000h~2000h之间的均匀分布.当电子管损坏时有两种维修方案，一是每次更换损坏的那一只；二是当其中一只损坏时四只同时更换.已知更换时间为换一只时需1h，4只同时换为2h.更换时机器因停止运转每小时的损失为20元，又每只电子管价格10元，试用模拟方法决定哪一个方案经济合理？
%% 选择决策方案的模拟
% 某设备上安装有四只型号规格完全相同的电子管，已知电子管寿命为1000--2000小时之间的均匀分布(假定为整数)。
% 当电子管损坏时有两种维修方案，一是每次更换损坏的那一只；二是当其中一只损坏时四只同时更换。
% 已知更换时间为换一只时需1小时，4只同时换为2小时。
% 更换时机器因停止运转每小时的损失为20元，又每只电子管价格10元，
% 试用模拟方法决定哪一个方案经济合理？
%% （1）预备知识
% randi([a,b],m,n) 随机生成m*n的矩阵，矩阵中的每个元素都是[a,b]中的随机整数
randi([1, 5],3,2)
randi([1, 5]) % 不写m*n代表只生成1个随机数
% find函数的用法
% find函数的用法在第一期视频：层次分析法那一节讲过，我们当时找最大特征值的位置
a = [2 3 5 1 7 5];
find(a) % 找到a中所有非0元素的位置
find(a == 5) % 找到a中等于5的元素的位置
find(a == 5,1) % 找到a中第一个等于5的元素的位置
find(a == min(a)) % 找到a中最小元素的位置
%% （2）代码部分
clear;clc
T = 100000000; % T表示模拟的总时间（单位为小时）
t = 0; % 初始化当前时刻为0小时
c1 = 0; c2 = 0; % 初始化两种方案的总花费都为0
%% 方案一
life = randi([1000,2000],1,4); % 随机生成四个电子管的寿命，假设为整数
while t < T % 只要现在的时刻没有超过总时刻，就不断循环下去
result = min(life); % 找出寿命最短的那一个电子管的寿命
t = t+result+1; % 现在的时间更改到有电子管损坏的时刻（加上1表示更换电子管需要花费的时间）
c1 = c1 + 20 * 1 +10; % 更新方案一的花费
k = find(life == result,1); % 找到哪一个电子管是坏的
life = life - result -1; % 更新所有电子管的寿命
life(k) = randi([1000,2000]); % 把坏掉的那个电子管的寿命重置
end
%% 方案二
t = 0; % 初始化当前时刻为0小时
while t < T % 只要现在的时刻没有超过总时刻，就不断循环下去
life = randi([1000,2000],1,4); % 随机生成四个电子管的寿命，假设为整数
result = min(life); % 找出寿命最小的那一个电子管的寿命
t = t+result+2; % 现在的时间更改到有电子管损坏的时刻（加上2表示更换所有电子管需要花费的时间）
c2 =c2 + 20 * 2 +40; % 更新方案二的花费
end
%% 两种方案的花费
c1
c2
