数学规划模型——线性规划问题
Matlab中线性规划的标准型
标准型
\[min \ C^{T}X \\
\ \\
s.t. \ \begin{cases}
& \text{} AX<=b \quad 不等式约束\\
& \text{}Aeg*x=beg \quad 等式约束 \\
& \text{}lb<=x<=ub \quad 上下界约束(也可以当成不等式约束)
\end{cases}
\]
向量的内积 ,
\[c=\begin{pmatrix}
C_{1}\\
C_{2}\\
...\\
C_{n}
\end{pmatrix}
\quad
x=\begin{pmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
...\\
x_{n}
\end{pmatrix},n是决策变量的个数
\]
练习题
-
min->maxm 加负号
-
不等式约束的标准是<=,>=需要转换
-
变量如果不在约束条件，用inf与-inf巧妙转换
Matlab 求解线性规划 的函数
[x ,fval] = linprog [ c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, X0]
① X0 表示给定Matlab迭代求解的初始值 ( ⼀般不⽤给)
② c, A, b, Aeq, beq, lb, ub的意义和 标准型中的意义⼀致
③ 若不存在不等式约束, 可⽤ " [ ] " 替代 A和b
④ 若不存在等式约束, 可⽤ " [ ] "替代 Aeq 和 beq
⑤ 苦某个 x⽆下界或上界, 则设置lb(i)=-inf,ub(i)=+inf
⑥ 返回的 x表示⼩值处的 x取值 ; fval表示优解处时取得的最小值
7.不是所有的线性规划都有唯一解，可能无解或有无穷多的解。
8.如果求的是最大值，别忘在最后给fval加一个负号。
上⾯三个题的代码 ：
-
[x, fval]=linprog[c, A, b, [], [], lb]
-
[x, fval]=linprog[c, A, b,Aeg, beg, lb]
-
[x, fval]=linprog[c, A, b,Aeg, beg, lb]
fval=-fval
代码
%% Matlab求解线性规划
% [x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb,ub, x0)
% c是目标函数的系数向量，A是不等式约束Ax<=b的系数矩阵，b是不等式约束Ax<=b的常数项
% Aeq是等式约束Aeq x=beq的系数矩阵，beq是等式约束Aeq x=beq的常数项
% lb是X的下限，ub是X的上限，X是向量[x1,x2,...xn]' , 即决策变量。
% 迭代的初始值为x0（一般不用给）
% 更多该函数的用法说明请看讲义
%% 例题1
c = [-5 -4 -6]'; % 加单引号表示转置
% c = [-5 -4 -6]; % 写成行向量也是可以的，不过不推荐，我们按照标准型来写看起来比较正规
A = [1 -1 1;
3 2 4;
3 2 0];
b = [20 42 30]';
lb = [0 0 0]';
[x fval] = linprog(c, A, b, [], [], lb) % ub我们直接不写，则意味着没有上界的约束
% x =
% 0
% 15.0000
% 3.0000
%
% fval =
% -78
%% 例题2
c = [0.04 0.15 0.1 0.125]';
A = [-0.03 -0.3 0 -0.15;
0.14 0 0 0.07];
b = [-32 42]';
Aeq = [0.05 0 0.2 0.1];
beq = 24;
lb = [0 0 0 0]';
[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb)
% x =
% 0
% 106.6667
% 120.0000
% 0
%
% fval =
% 28
% 这个题可能有多个解，即有多个x可以使得目标函数的最小值为28（不同的Matlab版本可能得到的x的值不同，但最后的最小值一定是28）
% 例如我们更改一个限定条件：令x1要大于0（注意Matlab中线性规划的标准型要求的不等式约束的符号是小于等于0）
% x1 >0 等价于 -x1 < 0，那么给定 -x1 <= -0.1 (根据实际问题可以给一个略小于0的数-0.1)，这样能将小于号转换为小于等于号，满足Matlab的标准型
c = [0.04 0.15 0.1 0.125]';
A = [-0.03 -0.3 0 -0.15;
0.14 0 0 0.07
-1 0 0 0];
b = [-32 42 -0.1]';
Aeq = [0.05 0 0.2 0.1];
beq = 24;
lb = [0 0 0 0]';
[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb)
% x =
% 0.1000
% 106.6567
% 119.9750
% 0
%
% fval =
% 28.0000
%% 例题3
c = [-2 -3 5]';
A = [-2 5 -1;
1 3 1];
b = [-10 12];
Aeq = ones(1,3);
beq = 7;
lb = zeros(3,1);
[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb)
fval = -fval % 注意这个fval要取负号（原来是求最大值，我们添加负号变成了最小值问题）
% x =
% 6.4286
% 0.5714
% 0
% fval =
% -14.5714
% fval =
% 14.5714
%% 多个解的情况
% 例如 ： min z = x1 + x2 s.t. x1 + x2 >= 10
c = [1 1]';
A = [-1 -1];
b = -10;
[x fval] = linprog(c, A, b) % Aeq, beq, lb和ub我们都没写，意味着没有等式约束和上下界约束
% x有多个解时，Matlab会给我们返回其中的一个解
%% 不存在解的情况
% 例如 ： min z = x1 + x2 s.t. x1 + x2 = 10 、 x1 + 2*x2 <= 8、 x1 >=0 ，x2 >=0
c = [1 1]';
A = [1 2];
b = 8;
Aeq = [1 1];
beq = 10;
lb = [0 0]';
[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb) % Linprog stopped because no point satisfies the constraints.（没有任何一个点满足约束条件）
线性规划的典型例题
例题1
设备有效台：
你有100台设备，每月工作22天，每天工作8小时，设备每天只有5小时有效运作（生产），则你的设备有效台时=5×22×100=11000台时，你的工作台时=8×22×100=17600台时，设备有效作业率=5/8=62.5%
%% 生产决策问题
format long g %可以将Matlab的计算结果显示为一般的长数字格式（默认会保留四位小数，或使用科学计数法）
% (1) 系数向量
c = zeros(9,1); % 初始化目标函数的系数向量全为0
c(1) = 1.25 -0.25 -300/6000*5; % x1前面的系数是c1
c(2) = 1.25 -0.25 -321/10000*7;
c(3) = -250 / 4000 * 6;
c(4) = -783/7000*4;
c(5) = -200/4000 * 7;
c(6) = -300/6000*10;
c(7) = -321 / 10000 * 9;
c(8) = 2-0.35-250/4000*8;
c(9) = 2.8-0.5-321/10000*12-783/7000*11;
c = -c; % 我们求的是最大值，所以这里需要改变符号
% (2) 不等式约束
A = zeros(5,9);
A(1,1) = 5; A(1,6) = 10;
A(2,2) = 7; A(2,7) = 9; A(2,9) = 12;
A(3,3) = 6; A(3,8) = 8;
A(4,4) = 4; A(4,9) = 11;
A(5,5) = 7;
b = [6000 10000 4000 7000 4000]';
% (3) 等式约束
Aeq = [1 1 -1 -1 -1 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 1 1 -1 0];
beq = [0 0]';
%（4）上下界
lb = zeros(9,1);
% 进行求解
[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb)
fval = -fval
% fval =
% 1146.56650246305
% 注意，本题应该是一个整数规划的例子，我们在后面的整数规划部分再来重新求解。
intcon = 1:9;
[x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,lb)
fval = -fval
例题2
%% 投料问题
clear,clc
format long g %可以将Matlab的计算结果显示为一般的长数字格式（默认会保留四位小数，或使用科学计数法）
% (1) 系数向量
a=[1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25]; % 工地的横坐标
b=[1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.25]; % 工地的纵坐标
x = [5 2]; % 料场的横坐标
y = [1 7]; % 料场的纵坐标
c = []; % 初始化用来保存工地和料场距离的向量 (这个向量就是我们的系数向量）
for j =1:2
for i = 1:6
c = [c; sqrt( (a(i)-x(j))^2 + (b(i)-y(j))^2)]; % 每循环一次就在c的末尾插入新的元素
end
end
% (2) 不等式约束
A =zeros(2,12);
A(1,1:6) = 1;
A(2,7:12) = 1;
b = [20,20]';
% (3) 等式约束
Aeq = zeros(6,12);
for i = 1:6
Aeq(i,i) = 1; Aeq(i,i+6) = 1;
end
% Aeq = [eye(6),eye(6)] % 两个单位矩阵横着拼起来
beq = [3 5 4 7 6 11]'; % 每个工地的日需求量
%（4）上下界
lb = zeros(12,1);
% 进行求解
[x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb)
x = reshape(x,6,2) % 将x变为6行2列便于观察（reshape函数是按照列的顺序进行转换的，也就是第一列读完，读第二列，即x1对应x_1,1，x2对应x_2,1）
% fval =
% 135.281541790676
