数论笔记。

筛素数

int num;
int prime[maxn], sf[maxn];
void shai(int n){
	memset(sf, 1, sizeof sf);
	sf[1]=sf[0]=0;
	for(int i=2; i<=n; i++){
		if(sf[i]) prime[++num]=i;
		for(int j=1; j<=num; j++){
			if(i*prime[j]>maxn) break;
			sf[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
}

如果多次询问区间素数个数显然可以用前缀和优化。

int cnt[maxn];//前缀和 
void qzh(int n){
	int tot=0;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		if(sf[i]) tot++;
		cnt[i]=tot; 
	}
}

逆元

线性推逆元

p为素数。

\(inv[i]=(p-p/i)*inv[p\%i]\%p\)

模板题1

p一定为质数，直接线性推就好了。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 3000001
typedef long long ll;
using namespace std;
int inv[N], n, p;
int main(){
    scanf("%d%d", &n, &p);
	inv[1]=1;
	printf("1\n");
    for(int i=2;i<=n;i++){
        inv[i]=(ll)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
        printf("%d\n",inv[i]);
    }
	return 0;
}

单个逆元求法

模板题2

\(x∗b≡1(\mod p)\) 注意：被除数与n要求互质。

·若p为素数显然费马小定理。
·用exgcd求解\(x*b+y*p=1\)。
·根据欧拉公式，\(x=b^{\phi(n−1)}(\mod p)\)。

费马小定理求模质数意义上的逆元

代码显然。

欧拉定理求模任意数意义上的逆元

筛出欧拉函数。

于是就顺便说一下欧拉函数。

欧拉函数\(\phi(n)\)即n以内n的约数的个数。

由欧拉定理：\(a^\phi(p)≡1(\mod p)\) 。

显然a的逆元\(b=a^{\phi(p)-1}\);

CODE:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
int a, b;
int phi(int n){//求欧拉函数。
	int ans=1;
	for(int i=2; i*i<=n; ++i){
		if(n%i==0) {
			n/=i;
			ans*=i-1;
			while(n%i==0){
				n/=i;
				ans*=i;
			}
		}
	}
	if(n>1)
		ans*=n-1;
	return ans;
}
ll ksm(int n, int k){
	ll res=1;
	while(k){
		if(k&1)res=res*n%b;
		n=n*n%b;
		k>>=1;
	}
	return res;
}
int main() {
	scanf("%d%d", &a, &b);
	printf("%d", ksm(a, phi(b)-1));
	return 0;
}

奇怪的数

常见的递推关系

EXCRT

问题

求解同余方程组

\(\left\{\begin{aligned}x\equiv\ a_1(\mod m_1) \quad\\ x\equiv\ a_2(\mod m_2) \quad\\ x\equiv\ a_3(\mod m_3) \quad\\ ...\quad\\x\equiv\ a_k(\mod m_k) \quad\end{aligned}\right.\)

其中\(m_1,m_2,m_3...m_k\)为不一定两两互质的整数， 求\(x\)的最小非负整数解

求解

假设已经求出前\(k-1\)个方程组成的同余方程组的一个解为\(x\)

且有\(M=\prod_{i-1}^{k-1}m_i\)

则前\(k-1\)个方程的方程组通解为\(x+i*M(i\in Z)\)

那么对于加入第\(k\)个方程后的方程组

我们就是要求一个正整数\(t\)，使得 \(x+t*M \equiv a_k(\mod m_k)\)

转化一下上述式子得\(t*M \equiv a_k-x(\mod m_k)\)

对于这个式子我们已经可以通过exgcd求解\(t\)

若该同余式无解，则整个方程组无解， 若有，则前\(k\)个同余式组成的方程组的一个解解为\(x_k=x+t*M\)

所以整个算法的思路就是求解\(k\)次扩展欧几里得

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