卡特兰数

下面是几篇关于卡特兰介绍的文章：

我在下面直接复制了下面几篇文章的内容（或多或少的copy），

关于卡特兰数（记不住组合公式的可以记住折线法，它是一种几何证明“计算出卡特兰数”）。

文章链接：

http://blog.csdn.net/sabers_master/article/details/77711648

http://blog.sina.com.cn/u/1885661061

http://www.cnblogs.com/code-painter/p/4417354.html 

http://blog.sina.com.cn/s/blog_6917f47301010cno.html （折线法证明卡特兰数）

1.什么是卡特兰数：

　　卡特兰数是一种经典的组合数，经常出现在各种计算中，其前几项为 : 1,1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

2.卡特兰数的公式：

　　(1) h(n)= h(0) * h(n-1)+h(1) * h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2) 
　　(2) h(n)=h(n-1) * (4 * n-2)/(n+1) 
　　(3) h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,…) 
　　(4) h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)

3.卡特兰数的应用：

　　以下部分转自： 卡特兰数应用 
　　1.出栈次序： 
　　a.饭后，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗过的碗一个一个放进碗橱摞成一摞。一共有n个不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也许因为小妹贪玩而使碗拿进碗橱不及时，姐姐则把洗过的碗摞在旁边，问：小妹摞起的碗有多少种可能的方式？ 
　　b.一个有n个1和n个-1组成的字串，且前k个数的和均不小于0，那这种字串的总数为多少？ 
　　c.P=A1A2A3……An，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？ 
　　d.n个人拿5元、n个人拿10元买物品，物品5元，老板没零钱。问有几种排队方式。 
　　由于每个拿5元的人排队的次序不是固定的，所以最后求得的答案要 * n!。拿10元的人同理，所以还要 * n!。所以这种变种的最后答案为h(n) * n! * n! 
　　2. n个节点的二叉树有多少种构型？ 
　　3. 有n+1个叶子的满二叉树的个数? 
　　 
　　4. 在n*n的格子中，只在下三角行走，每次横或竖走一格，有多少中走法？ 
　　 
　　5. 将一个凸n+2边形区域分成三角形区域的方法数？ 
　　 
　　6. 在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？ 
　　 
　　7. n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数？ 
　　 
　　8. 12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？ 

上面一些问题有些是同构的，但有些却实在看不出联系来，他们的答案却都为卡特兰数。在《Enumerative Combinatorics》一书中，竟然提到了多达 66种组合问题和卡特兰数有关。

我们先来看看何为卡特兰数：

卡塔兰数的一般项公式为     

 C_n的另一个表达形式为  

 

递归式：令h(0)=1,h(1)＝1,catalan数满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
              

另类递归式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

 

前几项为 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

 

卡塔兰数的渐近增长为