P9838

数据点分治。

考虑这个式子事实上是什么，其实它是 \(\sum i(n+1-i) f(p_i)\)。

感性看，有相当多种排列的值相同。\(f(x)=i\) 有 \(\frac{n}{2^i}\) 组解，所以，本质不同但值相同的 \(p\) 非常多，至少是 \(\prod (\frac{n}{2^i})!\)。

题解告诉我们 \(n=29\) 时这个数值就大于 \(10^{18}\) 了，因此 \(n \geq 29\) 时等价于 \(k=1\)。

先考虑这个 \(k=1\)。

\(f\) 序列是定值，\(i(n+1-i)\) 序列也是定值，根据排序不等式，我们要把大的 \(f\) 放到边角。

一次放下一段同样的数字，那么我们需要快速求 \(\sum_{i=1}^r i(n+1-i)\)。这是一个三次函数。

接着考虑 \(n < 29\)。

注意到 \(f\) 只有 \(5\) 种值，往后填时我们不关心前面怎么填，只关心每种值用了几个。因此 dp：\(dp_{a, b, c, d, e, x}\) 表示前 \(a+b+c+d+e\) 位填了 \(a\) 个 \(1\)，以此类推，原式的值为 \(x\)，有几种方法。这是可以贪心地倒推的。

做完了，感觉挺神秘。

#include <bits/stdc++.h>

const int mod = 998244353, iv2 = (mod + 1) / 2, iv6 = (mod + 1) / 6;

using LL = long long;

LL cnt[63];

inline int sum(LL r, LL n) {
  r %= mod, n %= mod;
  return (r * (r + 1) % mod * iv2 % mod * (n + 1) % mod
       - r * (r + 1) % mod * (2 * r + 1) % mod * iv6 + mod) % mod;
}

inline int sum(LL l, LL r, LL n) {
  return (sum(r, n) - sum(l - 1, n) + mod) % mod;
}

inline int f(LL n, LL m) {
  return m % mod * ((n - m + 1) % mod) % mod % mod;
}

int calc(LL n) {
  for (int i = 0; i < 61; i++)
    cnt[i + 1] = n >> i;
  for (int i = 1; i < 61; i++)
    cnt[i] -= cnt[i + 1];
  int ans = 0;
  LL m = n >> 1; // 已经使用 [m+1, n-m-1]
  if (n & 1) {
    ans += f(n, (n + 1) / 2), --cnt[1], --n;
  }
  for (int i = 1; i <= 60; i++) {
    int t = cnt[i] / 2;
    (ans += 2ll * sum(m - t + 1, m, n) * i % mod) %= mod;
    m -= t;
    if (cnt[i] & 1) {
      (ans += 1ll * f(n, m) * (i + i + 1) % mod) %= mod;
      --cnt[i + 1], --m;
    }
  }
  return ans;
}

LL fac[17];

LL n;

int dp[15][9][5][3][2][5983];

LL dfs(int a, int b, int c, int d, int e, int x) {
  if (a < 0 || b < 0 || c < 0 || d < 0 || e < 0 || x < 0) return 0;
  if (!a && !b && !c && !d && !e) return x == 0;
  if (dp[a][b][c][d][e][x] != -1) return dp[a][b][c][d][e][x];
  LL ans = 0;
  int p = f(n, a + b + c + d + e + 1);
  ans += dfs(a - 1, b, c, d, e, x - p);
  ans += dfs(a, b - 1, c, d, e, x - 2 * p);
  ans += dfs(a, b, c - 1, d, e, x - 3 * p);
  ans += dfs(a, b, c, d - 1, e, x - 4 * p);
  ans += dfs(a, b, c, d, e - 1, x - 5 * p);
  return dp[a][b][c][d][e][x] = ans;
}

int main() {
  fac[0] = 1;
  for (int i = 1; i < 17; i++)
    fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
  int T; scanf("%d", &T); while (T--) {
    LL k; scanf("%lld %lld", &n, &k);
    int t = calc(n);
    if (n >= 29) {
      printf("%d\n", t); continue;
    }
  }
}