[ARC168E] Subsegments with Large Sums

有点意思的简单题。

答案有可二分性。合并两段，显然仍然合法。

考虑如何 check。因为答案可以被二分，我们尝试求恰好 \(x\) 段就行了。

恰好，这是 wqs 二分的内容。如何设计一个与 \(x\) 有关的凸函数呢？

这个函数大概是 \(\sum_{i=1}^x w(l_i, r_i)\) 的形式，每一个 \([l, r]\) 都是合法的一段，且互相不重叠。这样就能记录段数了，也就可以为每一段附加权值了。

假如分成了 \(x\) 段，只需要这 \(x\) 段的长度和 \(\leq n-(k-x)\) 就行了。但是这样不行，因为右侧与 \(x\) 有关，这样需要对每个 \(x\) 求值。移项，变成每一段的长度减去一不超过 \(n-k\)，这就把状态变成了 \(O(n)\) 个。

因此 \(w(l, r) = r - l\)，合法等价于 \(\sum w(l, r) \leq n-k\)，要求每一段 \([l, r]\) 都合法。

设 \(f(x)\) 为：划分出 \(x\) 个合法段 \([l_i, r_i]\)，\(w(l_i, r_i)\) 之和。下面搬运官方题解对这个函数具有凸性的证明。（它是一个下凸壳，因为取一段的代价是越来越高的。）

假设 \(B_1 \sim B_m\) 是 \(m\) 个极短合法段。因为极短，两两不具有包含关系。因此我们假定这 \(m\) 段右端点、左端点均递增。

设 \(f(p)\) 对应的方案的极短合法段的编号是 \(x_1 \sim x_{p}\)，\(f(p+2)\) 对应的方案的极短合法段的编号是 \(y_1 \sim y_{p+2}\)。先延长每一段左端点让它们两两相接，假设没有一个 \(y\) 被完整包含到 \(x\) 中，\(y\) 最多只能有 \(p+1\) 个，矛盾。因此设 \(y_{i+1}\) 被包含于 \(x_i\) 中，取 \(x_1 \sim x_{i-1}, y_{i+1} \sim y_{p+2}\) 和 \(x_1 \sim y_i, x_i \sim x_{p}\) 构成两个长度为 \(p+1\) 的合法解，因此有 \(2f(p+1) \leq f(p) + f(p+2)\)，凸性得证。

（延长左端点前的图，可以证明延长后存在一个 \(y_{i}\) 被包含于 \(x_i\) 中，\(y_i\) 与 \(y_{i+1}\) 不一定相接，但这不影响。）

因此，我们得到了一个 \(O(n \log^2 n)\) 的做法，代码。

• 二分是否分为恰好 \(x\) 段是可以的。注意这里的上界是 \(k\)。
• 设 \(f(x)\) 为：分成恰好 \(x\) 段的 \(\sum w(l, r)\) 的最小值。这是一个下凸壳，因此对其进行 wqs 二分找到 \(f(x)\)。如果这个最小值不超过 \(n-k\) 就认为可以分成 \(x\) 段。

对于 \((x, f(x))\) 组成的下凸壳，第二个二分对其单点求值。但是，因为我们只能用一条斜线切凸包并得到切到的点的坐标，在求一个点的坐标时获得了额外的其它点的坐标。能不能只做一次二分呢？

注意到我们需要的是 \(y\) 坐标不超过 \(n-k\) 的点的横坐标的最大值，当切线的斜率单调变化时，切到的点是否合法也是单调的，因此直接二分切线的斜率就够了。

因此我们得到了一个 \(O(n \log n)\) 做法，代码（官方代码）。