群论小记

定义

群：一个集合 \(G\)，和一个定义在其元素上的二元运算，这里记为 \(*\)。

群需要满足的性质：

• 封闭性：\(\forall a, b \in G, a * b \in G\)
• 单位元：\(\exist e \in G, \forall a \in G, a * e = a\)
• 逆元：\(\forall a \in G, \exist b \in G, a * b = b * a = e\)，将这里的 \(b\) 记作 \(a^{-1}\)
• 结合律：\((a * b) * c = a * (b * c)\)

例子：膜 \(m\) 的完系与加法、膜 \(p\) 的缩系和乘法。

一个很好的视角是把 \(G\) 中的元素看成某种操作，此时 \(*\) 可以描述操作的复合。

后面一般不区分 \(G\) 与 \(*\) 构成的群，和集合 \(G\)。

现在来研究一个集合 \(S\) 和一个群 \(G\)，\(G\) 中的元素 \(g:S \to S\) 是一个映射，把 \(s\) 经过映射 \(g\) 后的结果记为 \(g \cdot s\)。对于 \(g_1, g_2 \in G\)，\(g_1 * g_2\) 为先经过 \(g_1\) 再经过 \(g_2\) 后得到的映射。通常的计数问题要研究 \(S\) 经过 \(G\) 中的所有变换后可能出现的本质不同的等价类的个数。

可以将一个元素 \(s \in S\) 同时看成一个变换，此时可以忽略 \(S\) 集合，直接研究 \(G\) 中所有变换在复合操作下的等价性。在 \(S\) 中取 \(s\) 使得 \(f(g) = g \cdot s\) 是一个 \(G\) 到 \(S\) 的双射，将 \(s_1 = g \cdot s\) 替换成 \(g \cdot s\)，则这个视角下的操作与原来的操作是等价的。

例如说，\(S\) 为膜 \(n\) 完系，\(G\) 为【加上 \(0\) 到 \(n-1\) 中的任意一个数】与操作复合构成的群（幺元为【加零】）。此时【\(x\)】与【在【\(0\)】上施加【加 \(x\)】】等价。 将 \(S\) 中的元素【\(x\)】看作 \(G\) 中的元素【加上 \(x\)】，即可忽略集合 \(S\)。

（上两段话曾经卡住了我一阵子，非常感谢 [官方双语]欧拉公式与初等群论_哔哩哔哩_bilibili 提供的视角）

一个具体的例子是，\(S\) 是【给一个正 \(n\) 边形的各顶点染两种颜色的方案的集合】，\(G\) 为【所有可能的旋转方案】。【旋转 \(a\) 次】与【旋转 \(b\) 次】复合等价于【旋转 \((a + b) \bmod n\) 次】，显然逆元存在，故 \(G\) 是群。容易发现 \(|S| = 2^n, |G| = n\)。当 \(n=4\) 时，【\((0, 1, 1, 0)\)】 通过【旋转 \(2\) 次】操作得到【\((1, 0, 0, 1)\)】，故上述两种染法隶属于同一等价类。

值得点出的是，因为 \(G\) 是一个群，\(\forall g_1, g_2 \in G, g_1 * g_2 \in G\)。

注意：\((g_1 * g_2) \cdot s = g_2 \cdot (g_1 * s)\)。群的定义中没有交换律，有交换律的是阿贝尔群。

定义：记 \(s\) 的轨 \(G(s)\) 为：\(\{g \cdot s \mid g \in G\}\)。容易发现 \(G(s) \subseteq S\)。

一个轨恰好构成一个等价类看似很直观，但之后将给予代数证明。故所求仅轨的种类。

容易发现，对于固定的 \(g_x \in G, f_{g_x}(g) = g * g_x\) 事实上是一个双射。证明由幺元唯一性显然。幺元唯一性由反证法显然。

轨的性质

• 性质一：若 \(G(a) \cap G(b) \neq \varnothing, G(a) = G(b)\)。

  由对称性只用证 \(G(a) \subseteq G(b)\)。

  设 \(t \in G(a) \cap G(b), g_1 \cdot a = t, g_2 \cdot b = t\)，则 \(\forall c \in G(a),g_3 \cdot a = c, (g_2 * g_1^{-1} * g_3) \cdot b = c\)，即 \(c\) 在 \(b\) 的轨中。

• 性质二：对于 \(b, c \in G(a), \exist g \in G, g \cdot b = c\)。

  设 \(g_1 \cdot a = b, g_2 \cdot a = c\)，则 \((g_1^{-1} * g_2) \cdot b = c\)。

• 推论：若 \(G(s) = \{s_1, s_2, \dots, s_k\}\)，则 \(G(s_1) = G(s_2) = \ldots=G(s_k)\)。

• 定义：对 \(s \in S\)，定义 \(s\) 的稳定子群 \(G_s\) 为 \(\{g \mid g \cdot s = s, g \in G\}\) 与 \(*\) 构成的代数系统。容易发现 \(G_s \subseteq G\)。

• 性质三：\(e \in G_s\)。

• 性质四：\(g \in G_s \Rightarrow g^{-1} \in G_s\)。

  \(g^{-1} \cdot s = g^{-1} \cdot (g \cdot s) = (g^{-1} * g) \cdot s = s\)。

• 性质五：\(g_1, g_2 \in G_s \Rightarrow g_1 * g_2 \in G_s\)。

  \((g_1 * g_2) \cdot s = g_1 \cdot s = s\)。

由 \(G\) 的交换律知 \(G_s\) 也有交换律，故 \(G_s\) 也是群。

• 定义：若 \(G\) 是一个群，\(G_1 \subseteq G\) 且由 \(G_1\) 关于 \(*\) 封闭，则称 \(G_1\) 为 \(G\) 的子群。

• 性质六：若 \(G_1\) 是 \(G\) 的子群，则 \(\dfrac{|G|}{|G_1|} \in \mathbb Z\)。

  实例：\(G\) 为【乘上膜 \(p\) 缩系中的一个数】，直接研究 \(G\) 中所有变换在复合意义下的等价性，则所有【乘上一个二次剩余】构成一个稳定子群。证明由欧拉准则得出。熟知二次剩余的个数是 \(\dfrac{p-1}{2}\)。

  • 定义：在群 \(G\) 上定义左陪集 \(h*G := \{h * g \mid g \in G\}\)。陪集不一定是群。

  • 引理：若 \(G_1\) 是 \(G\) 的子群，则 \(G\) 可划分为若干个不交的 \(G_1\) 的左陪集。

    仅考虑 \(|G_1| \neq |G|\) 的非平凡情况。

    • 设 \(g * G_1 = G_2\)，则 \(G_1\) 与 \(G_2\) 相等或不交。

      若 \(g \in G_1, G_2 = G_1\)。否则，若存在 \(r \in G_1 \cap G_2\)，设 \(g * g_1 = r, g_1 \in G_1\)，则 \(g = r * g_1^{-1} \in G_1\)，矛盾。

    以此方式写出所有左陪集 \(G_1, G_2,\dots, G_n\)。

    • \(G\) 中任意元素均在某左陪集中出现

      任取 \(g_x \in G\)，\(g_x = (g_x * g_1^{-1}) * g_1\)，在 \(g_x * g_1^{-1}\) 的左陪集中。

    • 若 \(G_2 \cap G_3 \neq \varnothing\)，\(G_2 = G_3\)。
      

      \(a \stackrel{c}\longrightarrow b\) 的意义为 \(c * a = b\)。它体现了封闭性这一性质。结合律无法在这张图上体现。

      如图，\(g_r, g_a, g_b\) 均为 \(G_1\) 中的元素，\(g_2 G = G_2\) 为第二个左陪集，\(g_3 G = G_3\) 为第三个左陪集。\(t \in G_2 \cap G_3\)，其余定义见图。

      对于任取的 \(r \in G_2\)，只需证明 \(r \in G_3\)，则有 \(G_2 \subseteq G_3\)，由对称性可知 \(G_3 \subseteq G_2\)，则得证。

      容易注意到 \(r = g_2 * g_r = g_2 * g_a * g_x = t * g_x = g_3 * g_b * g_x\)，显然 \(g_b * g_x \in G\)，故 \(r \in g_3 G\)。

    引理得证。

  由引理，将 \(G\) 写作 \(g_1 G \cup g_2 G \cup \cdots g_kG\)，必须有 \(|g_1G| = |g_2G| = \cdots = |g_kG|\)（可以将 \(g_2G\) 看作 \(G_1\) 中每个元素左复合某个 \(g \in G\) 构成的集合，每个由复合生成的元素各不相等），故 \(\dfrac{G}{G_1} = k \in \Z\)。

• 定义：若 \(G_1\) 为 \(G\) 的子群，称 \(\dfrac{G}{G_1}\) 为 \(G_1\) 在 \(G\) 中的指数，记作 \([G : G_1]\)，数值上等于 \(G_1\) 所有左（右）陪集的个数。

• （拉格朗日定理）\(\forall s \in S, [G:G_s] = |G(s)|\)。（\(|G_s| |G(s)| = n\)，轨大小乘稳定子群大小等于群大小）

  令 \(G_s\) 为上一定理证明中的 \(G_1\)，容易发现对于同一个 \(G_i\) 中的 \(g_a, g_b\)，\(g_a \cdot s = g_b \cdot s\)（证明由以 \(G_s\) 中任一元素操作 \(s\) 结果相同容易推出）；对于不同 \(G_i\) 中的 \(g_a, g_b\)，\(g_a \cdot s \neq g_b \cdot s\)（将上述过程倒过来容易反证），故得证。

• 可以由拉格朗日定理推出伯氏引理（Burnside 引理），证明可由算两次给出，OI-wiki 上有证明，但是其直接使用了拉格朗日定理。懒了，到此为止 /youl

写在最后

根据 lcx 讲的一节课以及自己在 b 站看的一些科普视频整理而成，前后时间跨度极大，不少群本身的性质没有细证。不过写完后挺理性愉悦的，还顺带学了一些 \(\LaTeX\) 的用法，太酷啦。

迈向抽象代数的临门一脚。