[数学记录]P4931 烧情侣

回来慢慢学习 多项式计数 了……

感觉确实在慢慢适应形式幂级数环上的运算了。

照着 EI 和 NaCly_Fish 的题解来写一下。

题意：

有 \(2 \times n\) 的位置，在其中填入 \(1\) 到 \(n\) 各 \(2\) 个，对 \(\forall k \in [1,n]\) 求出恰好 \(k\) 对相等数相邻的方案数。两个 \(i\) 视为不同。

多组询问，\(n \leq 2 \cdot 10^5\)

尝试求出错排数 \(D_i\) 表示 \(i\) 对数字放进去全不匹配，则答案为 \(\displaystyle \binom{n}{k}^2 2^k k! D_{n-k}\)。

而容易发现

\[\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}^2 2^k k! D_{n-k} = (2n)! \]

在数学中需要保留组合数以进行组合恒等式化简，而在 OI 中却常常拆开组合数以获得卷积形式。

\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^n \dfrac{(n!)^2}{k!((n-k)!)^2} 2^k D_{n-k} &= (2n)! \\ \sum_{k=1}^n \dfrac{2^k}{k!} \dfrac{D_{n-k}}{((n-k)!)^2} &= \dfrac{2n!}{(n!)^2} \\ \end{aligned} \]

右边的东西熟知为 \([x^n]\dfrac{1}{\sqrt{1-4x}}\)，\(\dfrac{2^k}{k!}\) 熟知为 \([x^k] e^{2x}\)，于是

\[\sum_{i=1}^{\infty} \dfrac{D_i}{(i!)^2} = \dfrac{e^{-2x}}{\sqrt{1-4x}} \]

cmd 的文章中说，对于此种含有 \(e\) 的卷积式，求导后用其表达自身是几乎唯一的出路。

放一下 Elegia：关于整式递推机械化的尝试
。

对它求导：

\[\begin{aligned} F(x) &= \dfrac{e^{-2x}}{\sqrt{1-4x}} \\ F'(x) &= \dfrac{8x e^{-2x}}{(1-4x)^{3/2}} = \dfrac{8x F(x)}{1-4x} \\ F'(x) &= 8xF(x) +4xF'(x) \\ (i+1)F[i+1] &= 8F[i-1] + 4i F[i] \\ (i+1) \dfrac{D[i+1]}{(i+1)!^2} &= 8\dfrac{D[i-1]}{(i-1)!^2} + 4\dfrac{D[i]}{i!^2} \\ D[i+1]&=8 (i+1)i^2D[i-1] + 4i(i+1)D[i] \end{aligned} \]

\(\square\)

根据此式递推即可。复杂度 \(O(n)\)。