[？？记录]arc136C Circular Addition

题意：圆周上有 \(n\) 数，每次把圆周上的一段区间整体减一，问最少几次操作可以归零。区间自己不重叠。

思考在数轴上的场景，一次加相当于差分数组一个位置减一个位置加，差分数组绝对值之和的一半即为答案。

放到圆周上，以 \(1\) 为起始点，若区间不跨越原点，仍是一个偏前的位置加，一个位置减；若跨越原点，则是一个偏后的位置加，一个偏前的位置减。答案的下限仍是差分数组绝对值和的一半。

但是，只有差分数组，还原不回原答案；若强行在 \(1\) 与 \(n\) 间插入一个 \(0\)，它会被跨越原点的操作增加。

这时官方题解出了离谱的做法——找到另一个下限并证明这两个下限能放出答案。

注意到一次操作相当于把差分数组单点加并单点减，同时把最大值增加最大 \(1\)。于是下限的另一估计是 \(\max\{a_i\}\)。

下面证明 \(\max\{\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n{|a_i - a_{i+1}|},\max\{a_i\}\}\) 为答案。

若后者大于前者，做全局减一即可，可证没有数字等于 \(0\)。

若前者大于后者，选取全为最大值的连续区间减一，前者减一。

若前者等于后者，找一段包含全部最大值但不是整个环减一，可证没有数字为 \(0\)。

很离谱。我不知道赛场上遇到这道题会怎样。可能是顺着差分的思路渐行渐远？感觉这个答案下限估计并证明可取真的离谱。