arc138C 题解

• 挺喜欢这道题，可惜大号已经红了，又不想要估值，只能用小号交。

• 题意：A 先手玩游戏。有 $n$ 个数 $a_1-a_n$，A 每次可以任意取一个数，B 每次会取没有被取的数中下标最小的一数。保证 $n$ 为偶数。最大化 A 拿到的数字和。A 可以选择一个数字 $k \in [0,n)$，把第 $1$ 至第 $k$ 个数依次提到数组的最后面。

• 求 $k$ 与最大化数字和。

• 首先我们猜测，最大的 $n/2$ 个数字可以被一起选走。

• 利用那个大一点的样例一试，还真可以！

• 那么，如何构造这样的 $k$ 呢？

• 数字大小已经不重要了，按照它们是否是最大的 $n/2$ 个数，我们把它们替换为 $0/1$。

• A 不能让 B 取到 $1$。如果第 $i$ 步时失败了，说明前 $2i$ 个数中 $1$ 的个数超过 $0$ 的个数。

• 不妨把条件放宽点，我们尝试让前缀的任意 $i$ 个数 $1$ 的个数不多于 $0$ 的个数。

• 看到不多余与前缀，就想到 Catalan，就想到折线图。

• 上折线图，$1$ 表示往上走一步，$0$ 表示往下走一步。则折线图不能走到 $0$ 之上。

• 只要从折线图的最高点出发，就一定不会走到 $0$ 之上。因为起点终点的高度都是 $0$，前面任意数放到最后面时高度都是原有高度，所以不会超过原折线图最高点。

• 

• 上面是 $6$ 个数的一个例子（忽略标号混乱）（cnblogs 图床，看不到请移步 cnblogs）

• 该图对应数组 $[1,0,1,1,0,0]$

• 注意到 A5 是最高点，所以应当让新数组从 A5 开始，为 $[0,0,1,0,1,1]$

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