关于概率与期望

稍微写写，今天被绕晕了。

• 全概率公式：若事件 \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) 构成一组完备的事件且都有正概率，即 \(\forall i,j, A_i\cap A_j=\varnothing\) 且 \(\sum_{i=1}^n A_i=1\)，则有 \(\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)\)。
• 期望定义：\(\displaystyle E(x) = \sum\limits_{\alpha \in I(x)}\alpha\cdot P(X=\alpha)=\sum\limits_{\omega\in S}X(\omega)P(\omega)\)
• 全期望公式：\(\displaystyle E(Y)=\sum\limits_{\alpha \in I(X)} P(X=\alpha)E(Y|(X=\alpha))\)，其中 \(X,Y\) 是随机变量，\(E(Y|A)\) 是在 \(A\) 成立的条件下 \(Y\) 的期望（即“条件期望”）。

摘自 OI-wiki

P2793

给定一张 \(n\) 点 \(m\) 边的无向简单图，炸弹初始在 \(1\)，在每个节点有 \(p\) 概率爆炸，\(1-p\) 概率随机一条出边离开，求在每个定点爆炸的概率。

\(n \leq 300, m \leq \dfrac{n(n+1)}{2}\)

1. 概率做法（假）

先说一个错误做法。

设 \(f(x)\) 为充分多轮后在 \(x\) 的概率，爆炸视为永久停留。

那么我们需要知道上一轮停留已经爆炸/尚未爆炸的概率，这是很难计算的。

直接设 \(f(x)\) 在 \(x\) 的概率。这个值应当是收敛的，则在这个点爆炸的概率等于在这个点的概率，也等于暂留于这个点的概率。

关于上一句，可以直接对爆炸时的轮数归纳。

则

\[\begin{aligned} f(x) &= \sum\limits_{i=1}^n f(i) \cdot P(走到 \ x \ | \ 位于 \ i) \\ &= \sum\limits_{i=1,(i,x) \in E}^n f(i) \cdot (1-p) \dfrac{1}{deg_i} \ when \ x \neq 1 \\ &= \sum\limits_{i=1,(i,x) \in E}^n f(i) \cdot (1-p) \dfrac{1}{deg_i} + p \ when \ x = 1 \end{aligned} \]

我们的起点是 \(1\)。除了 \(1\)，其它节点都不能从自己转移到自己，所以对于 \(1\)，还要算上从自己转移到自己，即第一轮爆炸的概率，即上面的数加上 \(p\)。

以上作废。我觉得该题没有概率做法，所谓概率做法就是披着期望式子的皮。

2. 期望做法

\(f(x)\) 是停止前到达 \(x\) 的次数的期望。

因为每到一个点都有概率 \(p\) 停止游走，所以期望的总和是一个定值，这告诉我们 \(f(x)\) 有界，结合它的意义它应当是收敛的。

怎么从期望推出概率呢？注意到每经过一次 \(x\) 都有 \(p\) 的概率直接结束，所以经过 \(f(x)\) 次 \(x\)，就有 \(f(x) \cdot p\) 的概率结束于这里。

显然炸弹爆炸的次数的取值只有 \(\{0,1\}\)。这样我们发现，炸弹的期望爆炸次数 与 爆炸概率 在数值上相等。从而在一个点爆炸的概率 = 期望在这个点爆炸的次数 = 期望经过这个点且在这个点爆炸的次数。

—— https://www.luogu.com.cn/blog/118109/solution-p2973

将 走到 \(x\) 分离为 从 \(A_i\) 走到 \(x\) 的多个事件，\(A\) 是与 \(x\) 间直接有边相连的点的集合，则这些事件互斥，且他们的并为 走到 \(x\)。

\[\begin{aligned} f(x) &= \sum_{i=1}^{n} f(i) \cdot P(从 \ i \ 走到 \ x) \\ &= \sum_{i=1}^{n} f(i) \cdot P(走到 \ x \ | \ 位于 \ i ) \\ &= \sum\limits_{i=1,(i,x) \in E}^n f(i) \cdot (1-p) \dfrac{1}{deg_i} \ when \ x \neq 1 \\ &= \sum\limits_{i=1,(i,x) \in E}^n f(i) \cdot (1-p) \dfrac{1}{deg_i} + p \ when \ x = 1 \end{aligned} \]

这时的式子已经和上面的一样了。

注意到出发点位于 \(1\)，走到 \(1\) 的期望要额外 +1。

CF113D

两个人在一张图上随机游走，在每个点有 \(p_i\) 概率留下来，否则随机一条出边，二人回合时结束。求在每个节点回合的概率。

\(n \leq 22\)

直接设 \(f_{x,y}\) 为第一人在 \(x\)，第二人在 \(y\) 的期望出现次数，则在终点的期望出现次数就是概率。

递推公式是平凡的

\[f_{x,y} = \sum_{(x,i) \in E,(y,j) \in E} \dfrac{1-p_i}{deg_i}\dfrac{1-p_j}{deg_j} f_{i,j} + \sum_{(x,i) \in E} \dfrac{1-p_i}{deg_i} p_j \cdot f_{i,y} + \sum_{(y,j) \in E} \dfrac{1-p_j}{deg_j} p_i \cdot f_{x,j} + p_i p_j f_{i,j} \]

对于 \(f_{a,b}\) 额外加 \(1\)。