关于概率与期望

稍微写写，今天被绕晕了。

• 全概率公式：若事件 $A_1,A_2,\ldots,A_n$ 构成一组完备的事件且都有正概率，即 $\forall i,j, A_i\cap A_j=\varnothing$ 且 $\sum_{i=1}^n A_i=1$，则有 $\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)$。
• 期望定义：$\displaystyle E(x) = \sum\limits_{\alpha \in I(x)}\alpha\cdot P(X=\alpha)=\sum\limits_{\omega\in S}X(\omega)P(\omega)$
• 全期望公式：$\displaystyle E(Y)=\sum\limits_{\alpha \in I(X)} P(X=\alpha)E(Y|(X=\alpha))$，其中 $X,Y$ 是随机变量，$E(Y|A)$ 是在 $A$ 成立的条件下 $Y$ 的期望（即“条件期望”）。

摘自 OI-wiki

P2793#

给定一张 $n$ 点 $m$ 边的无向简单图，炸弹初始在 $1$，在每个节点有 $p$ 概率爆炸，$1-p$ 概率随机一条出边离开，求在每个定点爆炸的概率。

$n \leq 300, m \leq \dfrac{n(n+1)}{2}$

1. 概率做法（假）#

先说一个错误做法。

设 $f(x)$ 为充分多轮后在 $x$ 的概率，爆炸视为永久停留。

那么我们需要知道上一轮停留已经爆炸/尚未爆炸的概率，这是很难计算的。

直接设 $f(x)$ 在 $x$ 的概率。这个值应当是收敛的，则在这个点爆炸的概率等于在这个点的概率，也等于暂留于这个点的概率。

关于上一句，可以直接对爆炸时的轮数归纳。

则

$$\begin{aligned} f(x) &= \sum\limits_{i=1}^n f(i) \cdot P(走到 \ x \ | \ 位于 \ i) \\ &= \sum\limits_{i=1,(i,x) \in E}^n f(i) \cdot (1-p) \dfrac{1}{deg_i} \ when \ x \neq 1 \\ &= \sum\limits_{i=1,(i,x) \in E}^n f(i) \cdot (1-p) \dfrac{1}{deg_i} + p \ when \ x = 1 \end{aligned}$$

我们的起点是 $1$。除了 $1$，其它节点都不能从自己转移到自己，所以对于 $1$，还要算上从自己转移到自己，即第一轮爆炸的概率，即上面的数加上 $p$。

以上作废。我觉得该题没有概率做法，所谓概率做法就是披着期望式子的皮。

2. 期望做法#

$f(x)$ 是停止前到达 $x$ 的次数的期望。

因为每到一个点都有概率 $p$ 停止游走，所以期望的总和是一个定值，这告诉我们 $f(x)$ 有界，结合它的意义它应当是收敛的。

怎么从期望推出概率呢？注意到每经过一次 $x$ 都有 $p$ 的概率直接结束，所以经过 $f(x)$ 次 $x$，就有 $f(x) \cdot p$ 的概率结束于这里。

显然炸弹爆炸的次数的取值只有 $\{0,1\}$。这样我们发现，炸弹的期望爆炸次数 与 爆炸概率 在数值上相等。从而在一个点爆炸的概率 = 期望在这个点爆炸的次数 = 期望经过这个点且在这个点爆炸的次数。

—— https://www.luogu.com.cn/blog/118109/solution-p2973

将 走到 $x$ 分离为 从 $A_i$ 走到 $x$ 的多个事件，$A$ 是与 $x$ 间直接有边相连的点的集合，则这些事件互斥，且他们的并为 走到 $x$。

$$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{i=1}^{n} f(i) \cdot P(从 \ i \ 走到 \ x) \\ &= \sum_{i=1}^{n} f(i) \cdot P(走到 \ x \ | \ 位于 \ i ) \\ &= \sum\limits_{i=1,(i,x) \in E}^n f(i) \cdot (1-p) \dfrac{1}{deg_i} \ when \ x \neq 1 \\ &= \sum\limits_{i=1,(i,x) \in E}^n f(i) \cdot (1-p) \dfrac{1}{deg_i} + p \ when \ x = 1 \end{aligned}$$

这时的式子已经和上面的一样了。

注意到出发点位于 $1$，走到 $1$ 的期望要额外 +1。

CF113D#

两个人在一张图上随机游走，在每个点有 $p_i$ 概率留下来，否则随机一条出边，二人回合时结束。求在每个节点回合的概率。

$n \leq 22$

直接设 $f_{x,y}$ 为第一人在 $x$，第二人在 $y$ 的期望出现次数，则在终点的期望出现次数就是概率。

递推公式是平凡的

$$f_{x,y} = \sum_{(x,i) \in E,(y,j) \in E} \dfrac{1-p_i}{deg_i}\dfrac{1-p_j}{deg_j} f_{i,j} + \sum_{(x,i) \in E} \dfrac{1-p_i}{deg_i} p_j \cdot f_{i,y} + \sum_{(y,j) \in E} \dfrac{1-p_j}{deg_j} p_i \cdot f_{x,j} + p_i p_j f_{i,j}$$

对于 $f_{a,b}$ 额外加 $1$。