[数学记录]P7752 [COCI2013-2014#2] PALETA

开始认为是并查集，但是看到不等于觉得不好传递，于是就搁下了。事后发现这是道只要去好好想，就能做的题。

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题意：$n$ 个数，$i$ 与 $f_i$ 颜色不同，$k$ 色，求方案数。

把连边的图建出来。这是基环树与树组成的森林。

对于一棵树，拉一个点做根，或者说，大小为 $1$ 的环。其它点各有 $k-1$ 种染法。总方案就是 $k \cdot (k-1)^{n-1}$，$n$ 为树上点数。

对于基环树，把环拉出来做根。其它点都是 $k-1$ 种。而环的染法是经典小奥。

设现在考虑 $n$ 个点，$k$ 种颜色的环的染色。不妨认为 $k$ 是定值，因为在实际处理中，$k$ 一般只是参数的位置。

考虑第 $n$ 个位置，设值为 $f_n$：

• $a_1=a_{n-1}$。合并第 $1$ 个位置和第 $n-1$ 个位置，贡献为 $(k-1) \cdot f_{n-2}$

• $a_1 \neq a_{n-1}$。情况即为 $n-1$ 时的情况，贡献为 $(k-2) \cdot f_{n-1}$

迭代实现即可。

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
const int M = 1000005, mod = 1000000007;
int qpow(int a, int b) {int ans = 1; for(; b; b >>= 1) {if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % mod; a = 1ll * a * a % mod;} return ans;}
int n, k, ans = 1, tim, calc[M], f[M], dfn[M], cnt, ss, cnt2;
int top;
int dfs(int x){
    int xx = x;
    for(; ;){
        // if(f[x] == x) return 1;
        if(dfn[x]) return dfn[x] >= dfn[top] ? cnt - dfn[x] + 1 : 0;
        dfn[x] = ++cnt; x = f[x]; 
    }
}
void work(int x){
    top = x; int siz = dfs(x);
    if(siz > 0){
        ans = 1ll * ans * calc[siz] % mod; ss += siz;
    } 
}
int main(){
    scanf("%d %d", &n, &k);
    calc[0] = 1; calc[1] = k; calc[2] = 1ll * k * (k-1) % mod; calc[3] = 1ll * k * (k-1) * (k-2) % mod;
    for(int i = 4; i <= n; i++){
        calc[i] = (1ll * (k-1) * calc[i-2] % mod + 1ll * (k-2) * calc[i-1] % mod) % mod;  
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &f[i]);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) if(!dfn[i]) work(i);
    // printf("%d %d\n", ans, ss);
    printf("%d\n", 1ll * ans * qpow(k-1, n-ss) % mod);
}