Burnside引理和Polya定理笔记

讲的东西越难，越要坚持做笔记！

以往的板子都记在剪贴板上，因为没什么推导。但群论不得不推导一堆。

置换与置换群

有限集合到自身的双射称为 置换。

e.g. 对于 \(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\),

\[ f=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\ a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n} \end{pmatrix} \]

可以看成是一个置换，或一个双射函数，其中 \(p_1 - p_n\) 是 \(1-n\) 的排列。

如果将集合中每个元素看成一个节点，一个置换关系看做有向边，最后的图看着是若干个环。

后面置换一般也作

\[ f=\begin{pmatrix}1,2,\dots,n\\ p_1,p_2,\dots,p_n \end{pmatrix} \]

因为我们后面更关注每个元素究竟被映射到哪个元素，而非元素本身。

所有的置换方式的总和以及置换的乘法称为 置换群。置换群的子集也是 置换群。定义 \(f \cdot g\) 为依次经过 \(f\) 和 \(g\) 的置换的效果（当然也是置换）。

群的定义见 群论简介-群的定义-OI-wiki。

一个 循环 的定义如下

\[ (a_1,a_2,\dots,a_m)=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_{m-1},a_m\\ a_2,a_3,\dots,a_m,a_1\end{pmatrix} \]

即将 \((a_1,a_2,\dots,a_m)\) 中的元素统一前移一位。按前面将置换看成有向图的说法，一个循环自身是一个环。

定义 相交 为两个循环中有相同的元素。

易证每一个置换都能写成若干循环的积。

一个置换的循环节定义为一个置换最多能写成的循环的数目。将置换看成有向图，一个置换的循环节就是其中含有的环数。

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Burnside 引理

\[ L = \dfrac{1}{|G|} \cdot \sum_{j=1}^s D(g_j) \]

其中符号解释在后面，再往后 \(4\) 段。

背景：见OI-wiki吧。

将染色方案（的集合）看成将 \(S\) 中元素映射到颜色的函数（的集合）就和 OI-wiki 的定义差不多了。

在OI中的应用差不多就是给定集合 \(S\)（这里可以是要被染色的正方形，点、珠子等），要求对 \(S\) 中的每个元素染色（构造映射函数），其中对于每个置换（\(g_j\)，实际上可指翻转珠串，旋转珠串等）后得到的与其他染色方案（映射函数）相同的只计一次的，需保证置换任意复合后得到的结果能用一个置换表示。

\(D(g_j)\) 是置换 \(g_j\) 下所有染色方案（映射函数）不动点数，\(|G|\) 是置换群元素个数，\(L\) 是本质不同的染色方案（映射函数）数。

理解不动点：任意元素经过置换后相对应的元素的颜色相同，这一个置换即为一个不动点（如：项链经过翻转后珠子颜色排列与以前一样；格子顺时针旋转后看起来与以前一样），也即映射函数不变。

感性理解（约等于证明）：本来，一个染色方案（映射函数）通过所有置换共会产生 \(|G|\) 个等价形式。若经过一个置换回到自身，则应该增加一个该元素以保证每个染色方案（映射函数）共有 \(|G|\) 个等价形式,体现在整体上是将总数+1。

注意映射函数与置换的区别：置换是一个双射，而且两者映射到的集合不同（一是自身，如转动珠子，一不是自身，如颜色，此时即为染色）。

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Polya 定理

\[ L = \frac{1}{|G|} \cdot \sum_{i=1}^{s} m^{c(g_i)} \]

其中 \(c(g_i)\) 为置换 \(g_i\) 的循环节数（循环节的定义见上面），\(m\) 是映射函数映射到的集合的元素数，即颜色数。

特殊要求（其他要求从 Burnside）：要求所有从 \(S\) 到颜色的映射都合法，即元素（珠子，格子等）可以随便染色。

感性理解:其实这里的 \(m^{c(g_i)}\) 就是 Burnside 中的 \(D(g_i)\)。

若 \(g_i\) 的循环节为 \(k\) 且为不动点，每个元素经 \(g_i\) 变换后的元素染上的色必须相同，于是每个循环中的元素染上的色必须相同。所以一共有 \(m^{c(g_i)}\) 个不动点。

用处：同 Burnside，可以看做统计不动点的特殊方法。

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poj 2409

一串珠子，\(n\) 个，染成 \(m\) 色，可旋转或翻转，求方案数。

因为每个珠子每个颜色都能染，考虑使用 Polya。

旋转：\(n\) 种置换，往后旋 \(i\) 次的循环节是 \(gcd(n, i)\)。

翻转：

• \(n\) 为奇，共 \(n\) 个置换，循环节 \(\frac{n+1}{2}\)。
• \(n\) 为偶，共 \(\frac{n}{2}\) 个置换，循环节 \(\frac{n}{2}\)。

套公式即得。

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poj 2888

一串珠子，共 \(n\) 个 （\(n \leq 1e9\)），染成 \(m\) 色（\(m \leq 10\)），再给出几组限制，每次限制两色不能相邻，珠串可以旋转，求本质不同方案数。

因为每个珠子不是每个颜色都可以染，考虑使用 Burnside。

考虑旋转 \(i\) 次后的不动点个数。令 \(g=gcd(n,i)\)，则所有编号模 \(g\) 同余的珠子同色。不动点数就是 \(n=g\) 时不考虑旋转的方案数了。

\(n\) 极大，\(m\) 却很小，可以使用矩乘。然后就和 这道题 差不多了。

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据说，给别人讲懂才真正能理解一个知识点。

希望你能理解。

代码咕咕咕了。

因为不会多项式全家桶，不会写生成函数，概率太难，只能来写数论。

stO 多项式卷王\(\color{red}\text{Z}\color{black}\text{HY}\) Orz

参考资料：OI-wiki

才发现现在日报里有讲。

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分类：笔记