【基础】整体二分

二分答案的复杂度log(ans)，check的复杂度一般至少是O(n)（甚至是nlogn），那么q次询问的复杂度就是 \(O(q*log(ans)*n)\)

q通常与n同规模。如果把询问合并到一起回答，就可以优化复杂度，这也是整体二分的不一样之处。总的来说，对整个ans的值域像线段树一样进行递归，每个区间都有一次check，所以最多有ans*log(ans)次check，并且每次递归最长也是复制所有的查询，最深进行log(ans)次递归。在这里就是 \(O(ans*log(ans)*n+\log(ans)*q)\) 。看起来没有什么区别。但是要注意，在很多问题中ans的取值是跟当前节点的长度有关联的，或者是因为n的除法分块的原因导致最多只有\sqrt(n)种不同的ans。

确切的说，ans如果和n同规模，他们之间可能有什么联系。比如问题是“长度至少为k分一段，n个元素最多分多少段”，显然ans <= n/k，这是一种联系。常见于二分+双指针/滑动窗口/尺取类的题目，从单次二分变成整体二分，这种问题通常跟滑动窗口的窗口大小有关联。下面的“写法一”并不能应付这种情况。详情见 https://codeforces.com/contest/1968/problem/G2 这里的 长度为n的字符串分成k组，也就是枚举lcp的长度为M，lcp的出现次数为cnt，若cnt>=k则k对应的答案至少为len(lcp)。但是k的取值范围（询问次数）为[1, n]。加速的方法其实是，对于k>sqrt(n)，由于k是lcp出现的最少次数，所以有k*len(lcp) <= n，也就是len(lcp) <= sqrt(n)，这样，如果直接枚举k然后整体二分这一部分，复杂度为 \(O((n - \sqrt{n})*log(ans)*n) = O(n^2*log(ans))\) 不可以，但是如果是枚举lcp的长度得出每个lcp的长度对应的最大的cnt，在这个cnt位置打一个标记，这部分的复杂度为 \(O(\sqrt{n}*n)\) 然后最后统一用dp转移一次k。这种写法和二分就没有什么关系了（试了很久发现其实是白搭的，因为cnt是从1到n，无法通过二分合并cnt相同的区间来加速。需要在更高层的地方进行设计，具体来说就是设定一个查询的阈值CNT，当询问的cnt超过CNT或者不超过CNT时执行暴力解法（在二分的函数中直接return掉，另外调用一个bruteforce来求解（加上dp）），在CNT_THREDHOLD = 0 时（不进行任何暴力）为整体二分，对于有一些问题，比如上述的问题，明知道在cnt > CNT_THREDHOLD 时，虽然有n-sqrt(n)种不同的cnt，但是却至多只有sqrt(n)种答案，这种时候就要使用暴力枚举LCP然后dp。整体的复杂度为二分求解单个查询为 \(O(n*\log(n))\) ，需要使用二分的询问次数为 cnt <= CNT_THREDHOLD，总复杂度为 \(O(n*\log(n)*CNT_THREDHOLD)\)。对于cnt > CNT_THREDHOLD 时，从短到长枚举LCP可能的长度（记为LCP_LEN)，每次枚举求出对于这个长度来说能满足的最大需求的cnt，直到能满足的cnt <= CNT_THREDHOLD 之后就break掉了，总复杂度为 \(O(LCP_LEN * n)\)。整个算法的复杂度为 \(O(n*\log(n)*CNT_THREDHOLD + LCP_LEN * n) = O(n*(\log(n)*CNT_THREDHOLD + LCP_LEN))\)

在这道题里，\(CNT_THREDHOLD * LCP_LEN <= n\) 由均值不等式得，$ CNT_THREDHOLD = \sqrt { \frac{n} {\log n}} $ 时有最小值

如果ans和n不同规模，这时候check的复杂度一般就不是O(n)了，可能会有更快的方法，比如区间第k大的值。

高性能版本，空间消耗O(n)，通过partition函数来交换两侧的询问，把询问原地交换分成左和右。
写法一（check要尽可能快，不能是O(n)的）：
其实根本没必要搞这么复杂的交换，应该是按cnt排序

TODO：根据https://codeforces.com/contest/1968/problem/G2进行优化和封装

namespace MultiBinarySearch {

static const int MAX_QUERY = 2e5 + 10;

struct Query {
    int id;
    int cnt;    // 查询的参数，分cnt组时，每组的大小最大有多大？容易知道分的组数越多，其最大的siz会变小。
} que[MAX_QUERY];

int ans[MAX_QUERY];

int check (int len) {
    int cnt = 0;
    // 1.实现这个根据M计算cnt的函数。通常复杂度为O(n)
    return cnt;
}

// 把[ql, qr]中的询问根据cnt的结果划分，[ql, qm]放在左边，[qm + 1, qr]放在右边
// 好没用的设计，不如在查询的时候按cntsort一下，不再需要交换
int partition (int cnt, int ql, int qr) {
    auto is_right = [&] (int qi) {
        // 2.根据q.cnt是否能满足cnt的要求，区分是放在右边还是左边
        return cnt >= que[qi].cnt;
    };
    int i = ql, j = qr;
    while (i < j) {
        while (i < j && !is_right (i)) {
            ++i;
        }
        while (i < j && is_right (j)) {
            --j;
        }
        if (i < j) {
            swap (que[i], que[j]);
        }
    }
    // i == j
    return i - is_right (i);
}

void multi_bs (int L, int R, int ql, int qr) {
    if (ql > qr) {
        // 一定要加这一句，否则如果可能会复杂度不对
        return;
    }
    if (L == R) {
        for (int i = ql; i <= qr; ++i) {
            ans[que[i].id] = L;
        }
        // 注意处理无解的情况
        return;
    }
    int M = (L + R + 1) >> 1;   // 3.M 的取值是左偏还是右偏，和下方的check函数还有L和R的移动规则有关。
    int cnt = check (M);    // 长度为M的LCP，最多能满足cnt组

    int qm = partition (cnt, ql, qr);
    // 在某些题目中，q.cnt会和值域[L, R]有关联，比如第k大，这时候要注意cnt减去左区间的数量。
    multi_bs (L, M - 1, ql, qm);
    multi_bs (M, R, qm + 1, qr);
    return;
}

};

using namespace MultiBinarySearch;

vector版本，空间消耗O(nlogn)，比较好理解。没有这么多复杂的细节。
其实根本没必要搞这么复杂的交换，应该是按cnt排序 TODO

namespace MultiBinarySearch {

static const int MAX_QUERY = 2e5 + 10;

struct Query {
    int id, cnt;    // 分cnt组时，每组的大小最大有多大？容易知道分的组数越多，其最大的siz会变小。
};

int ans[MAX_QUERY];

int check (int M) {
    int cnt = 0;
    // 实现这个根据M计算cnt的函数。通常复杂度为O(n)
    return cnt;
}

void multi_bs (int L, int R, const vector<Query> &vq) {
    if (vq.empty()) {
        // 一定要加这一句，否则如果可能会复杂度不对
        return;
    }
    if (L > R) {
        return;
    }
    if (L == R) {
        // 注意这里不一定真的有解，取决于一开始二分的时候[L, R]范围内是否保证一定有解
        for (auto &q : vq) {
            ans[q.id] = L;
        }
        return;
    }
    int M = (L + R + 1) >> 1;    // M 的取值是左偏还是右偏，和下方的check函数还有L和R的移动规则有关。
    int cnt = check (M);    // 当猜的答案为M时，最多能分cnt组
    vector<Query> vq1, vq2;
    // 在某些题目中，q.cnt会和值域[L, R]有关联，比如第k大，这时候要注意cnt减去左区间的数量。
    for (auto &q : vq) {
        if (cnt >= q.cnt) {
            // cnt能满足q的要求，所以q至少为 M，对应 L = M
            vq1.push_back (q);
        } else {
            // cnt不能满足q的要求，所以q至多为 M - 1，对应 R = M - 1
            vq2.push_back (q);
        }
    }
    multi_bs (M, R, vq1);
    multi_bs (L, M - 1, vq2);
    return;
}

};

using namespace MultiBinarySearch;