【数学】多项式插值

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问题描述

给出 $n + 1$ 个二维平面上的点对 $(x_0, y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_{n}, y_{n})$ ，求一个经过这些点的不超过 $n$ 次的多项式 $P(x) = p_{n} \cdot x^{n} + p_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + p_{n - 2} \cdot x^{n - 2} + \cdots + p_{1} \cdot x + p_{0}$ ，也就是 $P(x_i) = y_i$ 。这个多项式是唯一的。

这个过程叫做插值，也是从多项式的点值表达转换成系数表达的问题。

注：这里使用从0开始的下标是为了让点的下标和多项式系数的下标还有 $x$ 的幂次显得整齐，下面的代码中的下标不一定是从0开始的。

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解决思路

拉格朗日插值

由这 $n + 1$ 个点，可以构造对应的 $n + 1$ 个多项式，其中第 $i$ 的多项式的形式为：

l_{i} (x) = \prod_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(x - x_{j})}{(x_{i} - x_{j})}

$l_i(x) = \prod\limits_{j = 0, \; j \neq i}^{n} \frac{(x - x_j)} {(x_i - x_j)}$

把下标为 $i$ 的点 $x_i$ 代入，可以得到：

\begin{array}{rcl} l_{i} (x_{i}) & = & \prod_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(x_{i} - x_{j})}{(x_{i} - x_{j})} \\ = & \prod_{j = 0, j \neq i}^{n} 1 \\ = & 1 \end{array}

$\begin{eqnarray} l_i(x_i) &=& \prod\limits_{j = 0, \; j \neq i}^{n} \frac{(x_i - x_j)} {(x_i - x_j)} \nonumber \\ &=& \prod\limits_{j = 0, \; j \neq i}^{n} 1 \nonumber \\ &=& 1 \nonumber \end{eqnarray}$

把给定的点中，下标不为 $i$ 的某个点 $x_{j0}$ 代入，可以得到：

\begin{array}{rcl} l_{i} (x_{j 0}) & = & \prod_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{(x_{j 0} - x_{j})}{(x_{i} - x_{j})} \\ = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray} l_i(x_{j0}) &=& \prod\limits_{j = 0, \; j \neq i}^{n} \frac{(x_{j0} - x_j)} {(x_i - x_j)} \nonumber \\ &=& 0 \nonumber \end{eqnarray}$

因为分子部分总存在 $(x_{j0} - x_{j0}) = 0$ 所以上式为 $0$ 。

把不在给定的点中的任意点 $x$ 代入，显然有 $n$ 项，所以，这是一个 $n$ 次的多项式。

于是，把上面的 $n + 1$ 个不同的 $l_i(x)$ 和 $y_i$ 相乘，再相加，即可构造下面的多项式：

L (x) = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} \cdot l_{i} (x)

$L(x) = \sum\limits_{i = 0}^{n} y_i \cdot l_i(x)$

由上面的推理可知， $L(x_i) = y_i$ ，并且 $L(x_i)$ 是一个不超过 $n$ 次的多项式（由于最高次的系数可能会被抵消，导致次数降低）。

由唯一性定理可知，这个 $L(x)$ 就是我们要找的 $P(x)$ ，即

P (x) = L (x)

$P(x) = L(x)$

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牛顿插值

多项式快速插值

高斯消元

求解未知数为 $p_i, i = 0, 1, 2, \cdots, n$ 的方程组

[\begin{matrix} x_{0}^{n} & x_{0}^{n - 1} & x_{0}^{n - 2} & \dots & x_{0} \\ x_{1}^{n} & x_{1}^{n - 1} & x_{1}^{n - 2} & \dots & x_{1} \\ x_{2}^{n} & x_{2}^{n - 1} & x_{2}^{n - 2} & \dots & x_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{n}^{n} & x_{n}^{n - 1} & x_{n}^{n - 2} & \dots & x_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} y_{0} \\ y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x_0^{n} & x_0^{n - 1} & x_0^{n - 2} & \cdots & x_0 \\ x_1^{n} & x_1^{n - 1} & x_1^{n - 2} & \cdots & x_1 \\ x_2^{n} & x_2^{n - 1} & x_2^{n - 2} & \cdots & x_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n}^{n} & x_{n}^{n - 1} & x_{n}^{n - 2} & \cdots & x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix}$

利用高斯消元在 $O(n^3)$ 时间内求出这个方程组的解。