【数学】数论函数求和
\(s_1(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}i=\frac{1}{2}n(n+1) \\ s_2(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ s_3(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}i^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2\)
注意 \(\sum\limits_{d|n}=\sum\limits_{d=1}^n[d|n]\) ，下面经常用这个公式。
除数函数 \(\sigma_k(n)\) n的因子的k次方和，k=0就是因子个数，k=1就是因子求和。
除数函数的前缀和，都是直接分块就可以求出来的
\(f(n)=\sigma_k(n)\cdot n\) 的前缀和（普通的乘法）
\(\sum\limits_{i=1}^n f(n)=\sum\limits_{i=1}^n i \sum\limits_{d=1}^{n}d^k[d|i]=\sum\limits_{d=1}^n d^k \sum\limits_{i=1}^{n}i[d|i]\) ，易知 \(\sum\limits_{i=1}^{n}i[d|i]\) 事实上就是d的所有倍数的求和，即 \(d\cdot s_1(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\)
\(f(n)=\varphi(n)\cdot n\) 的前缀和（普通的乘法）
考虑把 \(f\) 卷上某个函数 \(g\) ，使得他们的狄利克雷卷积的前缀和好求，即 \((f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\cdot g(\frac{n}{d})\) 的前缀和好求，展开得
\((f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\cdot g(\frac{n}{d})=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\cdot d \cdot g(\frac{n}{d})\) ，易知取 \(g(n)=n\) ，可以得到 \((f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\cdot n=n\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n^2\) ，一般来说，一个数论函数普通乘以x个id，那么就卷上x个id把这些id全部消掉，变成数论函数与常数1的狄利克雷卷积。
其他常见求和
n以内与n互质的数的k次方和 \(\sum\limits_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1]i^k=\sum\limits_{d|n}d^k\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{d}}i^k\)
当 k=0 时 \(\sum\limits_{d|n}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{d}}1=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}=\varphi(n)\) （ \(\mu\cdot I = \varphi\) ）
当 k=1 时 \(\sum\limits_{d|n}d\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{d}}i=\frac{1}{2}[n=1]+\frac{1}{2}n\varphi(n)\)
经典问题1：gcd等于k的pair的数量。求 \(f(k,n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=k]\)
记 \(N=min(n,m)\) ，则 \(f(k,n,m)=\sum\limits_{d=1}^{\lfloor\frac{N}{k}\rfloor}\mu(d)\lfloor\frac{n}{kd}\rfloor\lfloor\frac{m}{kd}\rfloor\) ，后面套个二维分块，前面用杜教筛求个前缀和。
经典问题2：gcd的k次方和。求 \(f(k,n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}gcd^k(i,j)\)
枚举gcd的值 \(f(k,n,m)=\sum\limits_{g=1}^{N}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=g]g^k\) 再套上面的公式。
记 \(N=min(n,m)\) ，则 \(f(k,n,m)=\sum\limits_{g=1}^{N}g^k\sum\limits_{d=1}^{\lfloor\frac{N}{k}\rfloor}\mu(d)\lfloor\frac{n}{kd}\rfloor\lfloor\frac{m}{kd}\rfloor\) ，后面套个二维分块，前面用杜教筛求个前缀和。
51nod1188 最大公约数之和 V2
51nod1188 最大公约数之和 V3
经典问题3：gcd为1的pair的数量。求 \(f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=1]\) ，由于这里两个上界一样，变成用欧拉函数可以求
经典问题4：gcd为质数的pair的数量。求 \(f(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)\in primes]\)
可以枚举质数 \(p\) 转换为经典问题1，但是复杂度会很高。
https://www.luogu.com.cn/problem/P2568
https://www.luogu.com.cn/problem/P2257
\(f(n,m)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)\in primes]=\sum\limits_{T=1}^{N}\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\sum\limits_{p|T,p\in primes}\mu(\frac{T}{p})\)
