【图论】CF1467E - Distinctive Roots in a Tree

题目链接：https://codeforces.com/contest/1467/problem/E

观察

对于某种权值 \(val\) ，若点 \(i\) 的权值 \(a[i]=val\) 则把这个点染成黑色，其他的点染成白色。

定义黑色节点的数量，为权值 \(val\) 的出现次数 \(cnt[val]\) 。
若以点 \(r\) 为根节点进行先序遍历，定义从点 \(r\) 到点 \(u\) 经过的黑色节点的数量，为权值 \(val\) 的深度 \(dep[val][u]\) ，记出现的最大深度为 \(mdp[val]\) 。

情形A：\(cnt[val]=1\) ，说明权值 \(val\) 不影响答案。
情形B：\(cnt[val]\geq2,mdp[val]=1\) ，说明删除所有的黑色节点后，合法的答案必须和根节点 \(r\) 处在同一连通块中。
情形C：\(cnt[val]\geq2,mdp[val]=2\) ，情况非常复杂。
情形D：\(cnt[val]\geq2,mdp[val]\geq3\) ，说明权值 \(val\) 直接导致答案无解。

算法流程

1. 以点 \(1\) 为根节点，先序遍历这棵树，记录以下信息：
   每一种权值的出现次数 \(cnt[i]\)
   每一种权值的深度 \(dep[i]\)
   每一种权值的最大深度 \(mdp[i]\)

2. 以点 \(1\) 为根节点，再次先序遍历这棵树，记录以下信息：
   假如这种权值的出现次数 \(cnt[i]=1\) ，那么直接忽略这种权值，结束。
   假如这种权值的最大深度 \(mdp[i]=1\) ，那么给这种权值的所有点都打上 \(down\) 标记，结束。
   那么这种权值的最大深度 \(mdp[i]\geq2\)，那么给这种权值的所有点都打上 \(down\) 标记，给这种权值的所有 \(dep[i]\geq2\) 的点的前一个点打上 \(dirup\) 标记，结束。

3. 记某个点为 \(u\) ，记点 \(u\) 的父节点为点 \(p\) ，则：
   \(down[u]\) 标记 表示以点 \(1\) 为整棵树的根节点时，以点 \(u\) 为根节点的整个连通块都是非法的。
   \(dirup[u]\) 标记 表示以点 \(u\) 为整棵树的根节点时，以点 \(p\) 为根节点的整个连通块都是非法的。
   假如 \(dirup[u]=cnt[a[p]]-1\) ，则说明以点 \(u\) 为整棵树的根节点时，权值 \(a[p]\) 的分布恰好为情形B，所以要清除掉点 \(p\) 的 \(down\) 标记。

4. 下推所有 \(down\) 标记，上推所有的 \(dirup\) 标记，统计答案。

总结

其中，要计算“带有方向的up标记”的方向，目前没有想到更好的办法，使用的是类似倍增lca的倍增算法计算出方向。总体时间复杂度 \(O(nlogn)\) 。
一道对我来说非常难的“树”论问题，也通过这一题感觉到自己确实比起9个月前强大了，无论是从代码能力、逻辑分析能力、或者是恒心和耐心都是。