【数学】数论常识

自然数的k次幂求和

\(\sum_{i=1}^{n}i=\frac{i(i+1)}{2}\)

除法取整

编程语言的除法取整默认是向0取整，对于非负整数来说，即向下取整。也就是说， \(\lfloor \frac{x}{y} \rfloor = x/y\) 。非负整数的向上取整需要加上分母-1的值，这个很好理解，当分子恰好是分母的倍数时，这个会被忽略掉，其他情况会恰好再凑够一个分母， \(\lceil \frac{x}{y} \rfloor = (x+y-1)/y\) 。

费马小定理

若 \(p\) 是质数，且 \(a\) 与 \(p\) 互质，有 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\) 。

用于求解模质数意义下的乘法逆元。也用于大数的质性检测。

威尔逊定理

正整数 \(n\) 是质数的充要条件是 \((n-1)!\equiv -1 (\mod n)\) 。

平方和的奇怪性质

当 \(p>2\) 时， \(x^2 \equiv 1 (\mod p)\) 恰好有两个解，就是 \(x=1\) 和 \(x=p-1\) ，而且模 \(p\) 意义下自己是自己逆元的只有这两个，其他的都是和不同的数配对成为逆元。

费马平方和定理

奇质数可以表示为平方和的充要条件是该奇质数是 \(4k+1\) 型。

奇整数的平方都有 \(8k+1\) 的形式。

费马大定理

当正整数 \(n>2\) 时，不定方程 \(x^n+y^n=z^n\) 无正整数解。

质数数量

\(n\) 个正整数中，质数大概有 \(\frac{n}{\ln n}\) 个。

快速乘

首选

ll qmul(ll a, ll b, ll mod) {
    return (lll)a * b % mod;
}

最直观

ll qmul(ll a, ll b, ll mod) {
    if(a >= mod)
        a %= mod;
    ll res = 0;
    while(b) {
        if(b & 1) {
            res += a;
            if(res >= mod)
                res -= mod;
        }
        a += a;
        if(a >= mod)
            a -= mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

利用玄学

ll qmul(ll a, ll b, ll mod) {
    ll res = (ld)a / mod * b;
    res = ((ull)a * b - (ull)res * mod) % mod;
    if(res < 0)
        res += mod;
    return res;
}