D. Colored Portals

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题意

对于有相同颜色传送门的城市 \(i,j\)，可以花 \(|i-j|\) 的代价从 \(i\to j\) 或 \(j \to i\)

问从城市 \(x\to y\) 的最小代价，或者报告无法到达

分析

对于无法到达的情况，很简单，用并查集维护即可

而对于可以到达的情况，我们发现，两座城市如果可以互相直接抵达，cost 是确定的

所以我们对与可以直接互相到达的城市，建立双向边，权值为 \(|i-j|\)

然后查询最小代价就变成了查询两个点的最短路

预估时间复杂度 \(O(????)\)

困难点在于，建边需要平方的复杂度，查询两点最短路也很复杂

能不能优化？

我们可以在建边上使技巧

由于只有相同颜色的传送门才会建边，且边权值为城市编号的差

所以我们可以把具有每种颜色传送门的城市剥离开来，然后按升序排序，然后遍历一遍，只在相邻的元素之间建边

这样，图的连通性不变，任意两点间的距离也不变，但是建边的时间复杂度变成了线性

建边的复杂度解决了，查询的时间复杂度仍然很高，我们该如何解决？

为此，我们或许需要换一个方向思考

如果 \(i\) 不能一步到达 \(j\) 说明 \(i,j\) 颜色完全不同，否则可以一步到达

因此，对于一个查询，如果两个城市颜色完全不同，我们只需要找一座中间城市，使得其与两座城市有着一半相同的颜色

而且，如果这座城市在 \([i,j]\) 里，那么答案只是 \(|i-j|\) ，否则答案会变大

因此，我们可以维护每个城市，左边最近的有着一半相同颜色的城市，右边最近的...

如何维护呢？