D - Square Pair

合集 - 数论(18)

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18.D - Square Pair2024-08-11

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原题链接

题解

多想几种暴力

1.遍历所有数对： $O(n^2)$

2.求有多少数对其乘积为平方数 $\to$ 求有多少平方数能被数对乘积： $O(n^2)$

3.如果两个数的乘积为平方数，代表他们的质因数，要么都是奇数，要么都是偶数 : $O(?)$

4.如果 $a\times b$ 是完全平方数，代表 $a\times b$ 的质因子都是偶数，所以如果 $a,b$ 的质因子为偶数，可以去掉，对答案没有影响，因为去掉之后质因子仍然是偶数

这样下来，去掉了所有偶数质因子的 $a^{\prime }$ 和 $b^{\prime }$，如果他们的乘积还是平方数，当且仅当 $a^{\prime },b^{\prime }$ 具有的质因子一样，由于我们只需要每个数具有的奇数质因子，所以我们将所有的奇数质因子个数变为1，偶数变为0

所以，我们可以对所有数去除质因子，然后统计相同数数对

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
#define double long double
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
const int inf=1e18;

const int N=4e5;

int inv(int x)
{
    return qpow(x,mod-2);
}
int fa[2000005];
int finds(int now){return now==fa[now]?now:finds(fa[now]);}

vector<int> G[200005];

int dfn[200005],low[200005];
int cnt=0,num=0;
int in_st[200005]={0};
stack<int> st;
int belong[200005]={0};

void scc(int now,int fa)
{
    dfn[now]=++cnt;
    low[now]=dfn[now];
    in_st[now]=1;
    st.push(now);

    for(auto next:G[now])
    {
        if(next==fa) continue;

        if(!dfn[next])
        {
            scc(next,now);
            low[now]=min(low[now],low[next]);
        }
        else if(in_st[next])
        {
            low[now]=min(low[now],dfn[next]);
        }
    }

    if(low[now]==dfn[now])
    {
        int x;
        num++;
        do
        {
            x=st.top();
            st.pop();
            in_st[x]=0;
            belong[x]=num;
        }while(x!=now);
    }
}

*/

#define int long long
vector<int> prime;
bool mark[200005]={0};
int fac[200005]={0};
void shai()
{
    for(int i=2;i<=200000;i++)
    {
        if(!mark[i])
        {
            fac[i]=i;
            prime.push_back(i);
        }

        for(auto it:prime)
        {
            if(it*i>200000) break;
            mark[it*i]=1;
            fac[it*i]=it;
            if(it%i==0) break;
        }
    }
}
int qpow(int a,int n)
{
    int res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) res=res*a;
        a=a*a;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
int a[200005],vis[200005]={0};
void solve()
{
    int n;
    cin>>n;

    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    sort(a+1,a+1+n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]==0)
        {
            ans+=n-i;
            continue;
        }
        int tem=a[i];

        while(tem!=1)
        {
            int f=fac[tem];
            int cnt=0;
            while(tem!=1&&fac[tem]==f)
            {
                cnt++;
                tem/=fac[tem];
            }
            if(cnt%2==0)
            {
                a[i]/=qpow(f,cnt);
            }
            else a[i]/=qpow(f,cnt-1);
        }
        //printf("i:%d  a:%d\n",i,a[i]);
        ans+=vis[a[i]];
        vis[a[i]]++;
    }

    cout<<ans;
}
signed main()
{
    shai();
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
    int TT=1;
    //cin>>TT;
    while(TT--) solve();
    return 0;
}