F - Perfect Matching on a Tree

合集 - 树论(34)

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34.F - Perfect Matching on a Tree2024-08-10

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原题链接

分析

考虑两个点对 $(a,b),(x,y)$

如果点对 $(a,b)$ 的路径与点对 $(x,y)$ 的路径不存在共同的点，那么此时我们交换 $a,x$，则有点对 $(x,b),(a,y)$

此时两个点对的路径相交，且 $dis(x,b)+dis(a,y)>dis(a,b)+dis(x,y)$

所以，最后的答案一定是一条路径与其他所有路径都有交点

此时猜想，如果树上每条路径与其他路径都有交点，那么是否存在一个点，使得所有路径都经过这点？

验证：

假设存在三条绳子，每两条绳子相交，由于不存在环（树结构），所以他们必然有至少一个共同的交点

四五六条绳子同理

简化题意

我么已知最优答案下，所有路径必然有一个共同的点，因此我们可以遍历所有点，假定它是那个共同交点的情况下的答案

但是当我们取叶子节点时，我们发现不是所有点都能成为共同交点，因此我们试着找哪些点不能/能成为共同交点

我们把这个点作为树的根，如果有一个子树的节点个数大于 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$，那么一定不行，因为该子树内的点的配对点必须在子树外（很经典的两两不同匹配问题）

所以共同交点的要求是，不存在子树大小超过 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$

实施

考虑任意两个点 $(u,v)$，$dis(u,v)=dis(u,root)+dis(v,root)$ ，所以只要不和子树内的点配对都可以

我们对节点标记 dfs 序，dfs序差大于等于 $\frac{n}{2}$ 的，一定不在同一子树内

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
#define int long long
#define double long double
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
const int inf=1e18;
const int mod=1e9+7;

const int N=4e5;
int qpow(int a,int n)
{
    int res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
int inv(int x)
{
    return qpow(x,mod-2);
}
int fa[2000005];
int finds(int now){return now==fa[now]?now:finds(fa[now]);}


int dfn[200005],low[200005];
int cnt=0,num=0;
int in_st[200005]={0};
stack<int> st;
int belong[200005]={0};

void scc(int now,int fa)
{
    dfn[now]=++cnt;
    low[now]=dfn[now];
    in_st[now]=1;
    st.push(now);

    for(auto next:G[now])
    {
        if(next==fa) continue;

        if(!dfn[next])
        {
            scc(next,now);
            low[now]=min(low[now],low[next]);
        }
        else if(in_st[next])
        {
            low[now]=min(low[now],dfn[next]);
        }
    }

    if(low[now]==dfn[now])
    {
        int x;
        num++;
        do
        {
            x=st.top();
            st.pop();
            in_st[x]=0;
            belong[x]=num;
        }while(x!=now);
    }
}
vector<int> prime;
bool mark[200005]={0};
void shai()
{
    for(int i=2;i<=200000;i++)
    {
        if(!mark[i]) prime.push_back(i);

        for(auto it:prime)
        {
            if(it*i>200000) break;

            mark[it*i]=1;
            if(it%i==0) break;
        }
    }
}
*/
vector<int> G[200005];

int sizes[200005]={0};
int sum[200005]={0};
int n;
int center=1,cmin;


void dfs1(int now,int fa)//统计最大子树大小，找交点
{
    sizes[now]=1;
    int tem=0;
    for(auto next:G[now])
    {
        if(next==fa) continue;

        dfs1(next,now);

        sizes[now]+=sizes[next];
        tem=max(tem,sizes[next]);
    }

    tem=max(tem,n-sizes[now]);
    if(tem<cmin)
    {
        cmin=tem;
        center=now;
    }
}
int dfn[200005];
int cnt=0;
void dfs2(int now,int fa)
{
    dfn[++cnt]=now;
    for(auto next:G[now])
    {
        if(next==fa) continue;
        dfs2(next,now);
    }
}
void solve()
{
    cin>>n;
    cmin=n;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        G[x].push_back(y);
        G[y].push_back(x);
    }

    dfs1(1,1);
    dfs2(center,center);

    int half=n/2;
    for(int i=1+n%2;i<=half+n%2;i++) cout<<dfn[i]<<' '<<dfn[i+half]<<'\n';
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
    int TT=1;
    //cin>>TT;
    while(TT--) solve();
    return 0;
}