数论里的欧拉定理，简单证明，非常简单

合集 - 数学(36)

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定理：$a^{\phi (n)}\equiv 1(modn)$

首先,我们需要了解一些前提条件:

• $n$ 是一个正整数
• $a$ 是与 $n$ 互质的整数
• $\phi (n)$ 是欧拉函数,表示小于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数

考虑集合 $S=\{x_1,x_2,...,x_{\phi (n)}\}$

这个集合包含了所有小于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数。
现在,我们将集合 $S$ 中的每个元素都乘以 $a$:
$a{x}_1,a{x}_2,...,a{x}_{\phi (n)}$

关键点:这个新集合中的元素具有以下特性:

• 它们都与 $n$ 互质
• 对任意两个不同的 $x_i$ 和 $x_j$，$a{x}_i\not\equiv a{x}_j(modn)$

为什么

运用反证法，假如存在两个不同的 $x_i$ 和 $x_j$，使得 $a{x}_i\equiv a{x}_j(modn)$

则有 $a{x}_i-a{x}_j=kn$，其中 $k$ 是整数

即 $a(x_i-x_j)=kn$

由于 $a$ 和 $x_i-x_j$ 都不含有 $n$ 的因子，所以该式子不可能成立

所以特性b成立

• 每个元素模 n 都在 1 到 n-1 之间

由于上述特性,新集合 $a{x}_1,a{x}_2,...,a{x}_{\phi (n)}$ 模 n 后,

实际上就是对原集合 $S$ 的一个重排列。

为什么？

新集合与原集合大小相同，元素均 $\in [1,n-1]$ 且与 $n$ 互质

因此,我们可以写出以下同余式:

$(a{x}_1)(a{x}_2)...(a{x}_{\phi (n)})\equiv x_1·x_2·...·x_{\phi (n)}(modn)$

整理左边:

$a^{\phi (n)}·(x_1·x_2·...·x_{\phi (n)})\equiv x_1·x_2·...·x_{\phi (n)}(modn)$

由于 $(x_1·x_2·...·x_{\phi (n)})$ 与 n 互质,我们可以在等式两边同时除以它（相当于乘上其逆元）:

$a^{\phi (n)}\equiv 1(modn)$