G. D-Function

合集 - 数学(36)

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原题链接

题解

先不考虑k的限制，而是考虑对于任意一个数，存不存在一个k使得题目所给等式成立
当 $n·k$ 没有进位时，等式一定成立
(赛时也许想到这就够了)
假如有进位呢？

对于任何一个位数大于1的数，必有 $D(n)<n$ （想想十进制是怎么表示数的）
而对于位数为1的数，有 $D(n)=n$
所以只要有一个进位，就相当于一个位数为1的数变成位数大于1的数，则 $D(kn)$ 一定小于 $k·D(n)$

实施

求出最大的乘上k不会进位的数 $m$
然后求出 $[0,l]$ 和 $[0,r]$ 内的有多少数，其所有位上的数不大于 $m$
之所以这么求是为了抵消前缀0的干扰

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod=1e9+7;

inline void read(ll &x) {  
	x = 0;
	ll flag = 1;
	char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9'){
        if(c == '-')flag = -1;
        c = getchar();
    }
	while(c >= '0' && c <= '9') {
		x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48); 
		c = getchar();
	}
	x *= flag;
}

inline void write(ll x)
{
    if(x < 0){
    	putchar('-');
		x = -x;
	}
    if(x > 9) 
		write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

ll qpow(ll base, ll p) {
    ll res = 1, tem = base;
    while (p) {
        if (p & 1) res = (1LL * res * tem) % mod;
        p >>= 1;
        tem = (1LL * tem * tem) % mod;
    }
    return res;
}

int main() {
    ll t;
    read(t);
    while (t--) {
        ll l, r, k;
        read(l); read(r); read(k);

        ll m = 9 / k;
        ll res = (qpow(m + 1, r) - qpow(m + 1, l) + mod) % mod;
        write(res);
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}