P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程

合集 - 洛谷(99)

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47.P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程2024-02-11

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题解

$ax\equiv 1(modb)⟹ax=by+1⟹ax-by=1(y\in Z)$

若 $ax+by=c$ 有整数解，令 $gcd(a,b)=e$ ，则有 $a_1=\frac{a}{e}$ ，$b_1=\frac{b}{e}$ 则有 $a_1·e·x+b_1·e·y=c⟹e·(a_1·x+b_1·y)=c$
又因为 $c=1$ 所以 $e=a_1·x+b_1·y=1$ ，其中 $x,y$ 是可以任意取的整数，且 $a_1{b}_1$ 互质 so $e=gcd(a,b)=1$

code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll check(ll a,ll b,ll c)
{
    if(b==0)return 0;
    ll x=check(b,a%b,c),y=(c-x*a)/b;
    return y;
}
int main()
{
    ll a,b;
    cin>>a>>b;
    ll c=__gcd(a,b);
    ll y=check(a,b,c),x=(c-y*b)/a;

    //printf("%d  %d  %d\n",x,y,c);
    ll mod=b/c;
    cout<<x%mod<<endl;
    return 0;
}