FFT简明指南
简介
FFT是用来计算多项式卷积的东西。
多项式卷积： \(C=A\ast B\) ，即 \(c_k=\sum_{i+j=k} a_i\times b_j\) 。（假设下标范围 \(0-n\) ）
直接按照定义做是 \(O(n^2)\) 的，但是FFT可以做到 \(nlog(n)\) 。
一些奇奇怪怪的东西（定义）
考虑一个 \(n\) 次多项式，取 \(n\) 个不同的 \(x\) 代入会得到 \(n\) 个 \(y\) ，然后发现由于我们可以解方程，因此只要不是无解、多解，我们可以说，一个 \(n\) 次多项式和一个（有 \(n\) 个点的集合一一对应）。
对于多项式 \(A=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\times x^i\) ，定义其在 \(x=x_0\) 处的点值为 \(A(x_0)=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\times x_0^i\) 。
多项式系数表示：对于 \(A=\sum_{i=0}^{n-1} a_i\times x^i\) ，系数表示为 \(A=\{a_0,a_1,...,a_{n-1}\}\) 。
多项式点值表示： \(A=\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_{n-1},y_{n-1})\}\) 。如果 \(x\) 的取值确定的情况下，显然也可以写成 \(A=\{y_0,y_1,...,y_{n-1}\}\) 。这样的话，多项式的系数、点值表示都可以写成一个向量vector的形式了。
点值表示中，若A与B \(x\) 的取值相同，它们相乘只需要把 \(x\) 对应的 \(y\) 分别相乘即可。
n次单位根（其实n次单位根只应该有1个，但是为了方便这里就当作有n个）：方程 \(x^n=1\) 的n个复数根，分别称为 \(w_n^0,w_n^1,w_n^2,...,w_n^{n-1}\) ，其中 \(w_n^0=1\) 。简记为 \(w_{n,0}\) 。不引起歧义的情况下，我会写成 \(w_0\) 。同时，在这里，n应该是2的幂次（原因后文会讲）。
主要用到的n次单位根的性质： \(w_{n,1}^k=w_{n,k},w_{n,k}=w_{2\times n,2\times k},w_{n,k+\frac{n}{2}}=-w_{n,k}\) 。
DFT，就是把一个长度为 \(n\) 次的向量（多项式系数表示）代入 \(n\) 次单位根，从而转换为另一个向量（多项式点值表示）。而IDFT，是把以上点值表示转换为系数表示。它们的复杂度都是 \(O(n\log n)\) 。
做法
数学
好，假设我们现在需要把一个长为 \(2^{len}=n\) 的多项式 \(A=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\times x^i\) 转换为点值表示（系数表示和系数表示向量被认为是相同的）。
我们先把它分成两部分：
构造两个新的多项式，其系数表示的向量分别为：
把这两个多项式分别变成点值表示（相当于递归向下做）：
然后考虑我们需要的是A的点值表示。枚举每一个 \(n\) 阶单位根，我们需要知道A代入 \(w_n^i\) 的值。然后再看一下第一个公式
又因为有 \((w_n^1)^2=w_n^2=w_{\frac{n}{2}}^1\) ，所以代入 \(w_n^i\) 后，点值就是A1在 \(w_{\frac{n}{2}}^i\) 处的点值加上 \(w_n^i\times A_2[w_{\frac{n}{2}}^i]\) 。
然后是IDFT。有一个结论，是说只要把以上的 \(n\) 次单位根全都变成相反数就行。证明自行百度。
代码
inline void FFT(Complex *A,int len,int fl);
DFT中，A开始存系数，后来存\(A[w_i]\)。
基本代码：
inline void FFT(Complex *A,int len,int fl){
if (len == 1) return;
Complex *A1, *A2;
A1 = new Complex[len / 2], A2 = new Complex[len / 2];
rep(i, 0, len / 2){
A1[i] = A[i * 2];
A2[i] = A[i * 2 + 1];
}
FFT(A1, len / 2, fl);
FFT(A2, len / 2, fl);
Complex w = init(len, fl), cur = (Complex)1;
rep(i, 0, len){
A[i] = A1[i % (len / 2)] + cur * A2[i % (len / 2)];
cur = cur * w;
}
}
如果把最终的数字转换的结果放出来，就是这样的：
int tmp;
inline void FFT(Complex *A,int len,int fl){
// reverse
int j = 0;
rep(i, 0, len){
if (j > i) Swap(A[i], A[j]);
// reverse add j
}
// reverse
Complex w, step, tmp;
for (i = 1; i < len; i <<= 1){
w = ...;
for (int j = 0; j < len; j += i * 2){
step = (Complex)1;
for (k = j; k < j + i; ++k){
tmp = step * A[j + i + k];
A[j + i + k] = A[j + k] - tmp;
A[j + k] += tmp;
step *= w;
}
}
}
}
（上面的加减可能需要理解）
NTT
如上，但是把所有的 \(n\) 次单位复根换成 \(\pm 3^{998244352/n}\mod{998244353}\) 。
