拉格朗日插值

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有何用

板子：给出平面上n+1个点，求一条穿过这n+1个点的n次多项式，或这个多项式在另一个点处的值。

显然可以高斯消元求出每一项系数，然后输出/直接爆算。

其实拉格朗日插值有两种：朴素的，和重心拉个朗日插值。一般情况下，朴素的和高斯消元在求解第1问时复杂度没有区别，但是后者无论第几问都可以用\(O(n^2)\)的复杂度爆艹高斯消元\(O(n^3)\)。

以下全都介绍求多项式的方法。

直观理解

这里的是朴素插值。

比如说，已知下面这几个点，我想找到一根穿过它们的曲线：

首先显然可以用一个n次多项式经过，不保证第n项系数是否为0。

然后高斯消元告诉我们，这应该是一个二次曲线。

\(y=a_0+a_1x+a_2x^2\)

然后，显然可以解方程。

\[\begin{cases} y_1=a_0+a_1x_1^1+a_2x_1^2 \\ y_2=a_0+a_1x_2^1+a_2x_2^2 \\ y_3=a_0+a_1x_3^1+a_2x_3^2 \end{cases} \]

然而，如果不解方程呢？

拉格朗日发现，我们可以用三根二次函数相加得到我们要的函数。

第一个函数\(f_1(x)\)，在\(x=x_1\)处值为1，在\(x=x_2,x_3\)处都为0。

第二个函数\(f_2(x)\)，在\(x=x_2\)处值为1，其余两处值为0。

第三个函数\(f_3(x)\)，在\(x=x_3\)处值为1，其余两处值为0。

现在我们考察 \(y_1f_1(x)+y_2f_2(x)+y_3f_3(x)\) 的性质。首先，它是一个二次函数。然后，它过这三个点。高斯消元告诉我们，这个函数就是唯一的二次函数 which（经过这三个点）。

形式化的表述

首先还是朴素插值。

假如有 \(n+1\) 个点，每个点形如 \((x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),...\) ，假设任意两个x都不相同，那么最后得到的多项式肯定是：

\[L(x)=\sum_{j=0}^n(y_i\prod_{i=0,i\neq j}^n \frac{x-x_i}{x_j-x_i}) \]

显然，这个式子计算连乘部分是n^2的（直接二项打开），总复杂度\(O(n^3)\)。

而且，如果在原点集的基础上加一个点，它需要比较大的复杂度取更新。

以上是傻逼做法。

正常的做法应该是，发现每一个连乘的分子乘上一个二项式能变成一个统一的多项式，所以处理的时候直接用不需要的那个二项式去除那个多项式就行（下面的常数计算）。

P.S.：以上四行为第一次更新所更新的内容。初读可以忽略。

为了方便增加一个点的改进（正常做法）

令拉格朗日基本多项式

\[l_j(x)=\prod_{i=0,i\neq j}^n \frac{x-x_i}{x_j-x_i} \]

再令

\[l(x)=\prod_{i=0}^n x-x_i \]

可以得到

\[l_j(x)=\frac{l(x)}{x-x_j} \frac{1}{\prod_{i=0,i\neq j}^n(x_j-x_i)} \]

令重心权\(w_j\)为

\[w_j=\prod_{i=0,i\neq j}^n(x_j-x_i) \]

就有

\[l_j(x)=l(x) \frac{w_j}{x-x_j} \]

于是最后的多项式就是

\[L(x)=l(x)\sum_{j=0}^n \frac{w_j}{x-x_j} y_j \]

对于这个公式，我们可以每次插入一个点，插一个点On，又因为除的项只有两项，可以手动讨论，因此最后统计\(n^2\)，显然求出答案是\(O(n^2)\)的。

只要求值

前面说过，如果只是求值，那么朴素的拉格朗日插值也能做到\(O(n^2)\)。就是直接把要求的x带入上面一堆式子中的x即可。