FFT与字符串

有的题目十分毒瘤，会让我们求一个字符串中有多少位满足某些性质，这个时候显然SAM等无能为力，可能需要使用FFT来进行统计（当然也有可能是乱搞）。

基本思想

以字符串匹配为例进行一些解释。

现在我们有两个字符串 \(S,T\) ，长度分别为 \(n,m\) ，求 \(T\) 在 \(S\) 中匹配上的各个位置的起点。

首先有显然性质 \(S[i,i+m)=T\Leftrightarrow \sum_{j=0}^{m-1}(S_{i+j}-T_j)^2=0\) 。然后对每一个 \(i\) 都这么做：

\[\sum_{i=0}^{n-m}\sum_{j=0}^{m-1} (S_{i+j}-T_j)^2=\sum_{i=0}^{n-m}\sum_{j=0}^{m-1}(S_{i+j}^2+T_j^2+2S_{i+j}\ast T_j) \]

目前这个还不是标准卷积形式，但是我们只要令 \(t_i=T_{m-1-i}\) ，上式就可以写成：

\[\sum_{i=0}^{n-m}\sum_{j=0}^{m-1}(S_{i+j}^2+t_{m-1-j}^2+2S_{i+j}\ast t_{m-1-j}) \]

这就好了，可以用FFT。

例题

重复的东西就不必再写一遍了。

看CF954I。