海明码
海明码
海明码是最为常见的纠错码，实现原理就是加入校验位形成海明码。然后根据检验位检验错误、纠正错误。
海明码分为五个步骤
- 确定校验位的位数
如果有 n 位的有效信息位数，k 位的校验位的位数，则信息位 n 和校验位 k 需要满足
\(n + k \leq 2^k -1\) （这里只能检测一位错误，减去 1 是没有发生错误的情况，而剩下 \(2^k - 1\) 则是对应 n + k 位中哪一位出错的情况）
例： 有效信息位为 4 位 那么需要的校验位需要满足 \(4 + k \leq 2^k - 1\) 则 k 最小位 3 位 - 确定校验位位置
规定中校验位 Pi 在海明位号为 2^(i-1) 的位置上,上面提到校验位有 3 位：P1 位置为 1，P2位置为 2，P3位置为 4；
对应为
D4 D3 D2 P3 D1 P2 P1 => 111 110 101 100 011 010 001 - 分组求校验值
P1(##1): D1 D2 D4
P2(#1#): D1 D3 D4
P3(1##): D2 D3 D4
利用偶检验（默认是偶检验，也就是直接数据位异或操作）
P1 为 P1 分组中奇偶检验的偶校验的值，P1 为校验位，D1 D2 D4 为数据位 => P1 = D1 ⨁ D2 ⨁ D4
P2，P3同理 - 校验
校验值为分组中所有数据异或
S1 = P1 ⨁ D1 ⨁ D2 ⨁ D4
S2 = P2 ⨁ D1 ⨁ D3 ⨁ D4
S3 = P3 ⨁ D2 ⨁ D3 ⨁ D4
拼接 S3S2S1，如果 S3S2S1 = 000 则说明没有错误，如果 = 001 则说明第一位出现了错误，也就是 P1 出现错误
码距
两个相同长度的字符串中，把其中一个字符串替换成另一个字符串需要的操作次数
如： 10000 和 10001 的码距为 1，只需要把末尾的 0 换成 1 即可
而： 00000 和 11111 的码距为 5，需要把五个 0 换成 1
编码的海明距是指该种编码中最小的存在的码距
对此引出如下结论
1）海明码“纠错” d 位，需要的编码码距最小为 2d + 1
2）海明码“检错” d 位，需要的编码码距最小为 d + 1
对于 1）
因为只有当码距大于 2d + 1 时，才存在一个码距最接近的值与之对应
例：编码为 A（100000） B（111111） 如果 A 发生了两位错误变成了 100011 则此时这段与 A 的码距为 2，与 B 的码距为 3，所以能推断是 A 发生了错误，并对其进行纠正，相反如果编码为 A（10000） B(11111) ,此时 A 发生了两位错误变成了 10011，此时这段字符串与 A 的码距为 2，与 B 的码距也为 2，无法判断是 A 发生了错误还是 B 发生了错误，所以说需要码距大于 2d + 1
对于 2）
在编码码距为 d + 1 中只改变了 d 位的数据是不可能变为另一个合法值的，所以最小为 d + 1 位
更详细的可以看一下 NR-LDPC编码(一)：纠错编码基本原理 - 知乎 (zhihu.com)
