随便说说堆——二叉堆概念与实现

二叉堆可以被看作是一个数组，也可以简单的看作是一个近似的完全二叉树，二叉堆有最大堆和最小堆，分别具有堆的性质：最大堆的某个结点的值最多与其父结点一样大，最小堆则是某个结点的值最多与其父结点一样小。所以最大堆中最大的结点永远是根结点，最小堆中最小的结点永远是根节点。

既然二叉堆是一种数据结构，就有其支持的操作（这里以最小堆为例）：

• make_heap：建立一个空堆，或者把数组中元素转换成二叉堆。
• insert：插入元素。
• minimun：返回一个最小数。
• extract_min：移除最小结点。
• union：合并堆

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make_heap

先给一组数{27，17，3，16，13，10，1，5，7}输入数组，数组下标从0开始。然后我们画出这棵树：

然后根据近似满二叉树的性质，有n个结点，[n/2]+1，[n/2]+2，……，n都是叶结点。然后可以通过对除了叶结点以外的结点i(0到n/2)进行一次下滤的操作，若儿子结点有小于结点i的结点，将儿子结点中最小者与结点i交换，再与交换后的位置的儿子结点继续比较，直到小于儿子结点或者为叶结点为止。遍历完，就得到最小堆。 时间复杂度建立空堆O(1)，立地建堆O(n)。

图示

代码实现

//维护堆
void max_heapify(int *a, int i) {
    int l = 2 * i + 1;
    int r = 2 * i + 2;
    int largest;
    if (a[l] != -1 && a[l] < a[i]) largest = l;
    else largest = i;
    if (a[r] != -1 && a[r] < a[largest]) largest = r;
    if (largest != i) {
        swap(a[i], a[largest]);
        max_heapify(a, largest);
    }
}
//建堆
void make_heap(int *a, int n) {
    for (int i = n / 2; i >= 0; i--) max_heapify(a, i);
}

 

 

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insert

对于插入操作，首先将元素push到数组尾部，然后将其进行上滤操作，也就是将其与父结点比较，如果小于父结点就交换，直到大于等于父结点或者到达根。时间复杂度为O(logn)

举个例子：在{1，5，3，7，13，10，27，16，17}中插入4。

图示

代码实现

//n是数组长度
void insert(int *a, int num, int &n) {
    a[n++] = num;
    for (int i = n - 1; i >= 0; i = (i - 1) / 2) {
        if (a[i] < a[(i - 1) / 2]) swap(a[i], a[(i - 1) / 2]);
        else break;
    }
}

 

 

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minimun

返回最小数，对于最小堆来说返回根即可。时间复杂度O(1)

代码实现

int minimun(int *a) {
    return a[0];
}

 

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extract_min

移除最小顶点，也就是最小堆的根，此时需要将堆最后一个叶节点摘下替换掉根，这样不会破坏近似满二叉树的结构，然后从上至下更新堆，维护堆的性质。时间复杂度O(logn)

图示

代码实现

void extract_min(int *a, int &n) {
    a[0] = a[n - 1];
    n--;
    max_heapify(a, 0);
}

 

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union

合并堆的话其实就相当于把两个堆数组合并，然后重新建堆。所以时间复杂度也是线性的，为O(n)。

代码实现

void Union(int *a, int *b, int &n, int &m) {
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        a[n++] = b[i];
    }
    m = 0;
    memset(b, -1, sizeof(b));
    for (int i = n / 2; i >= 0; i--) max_heapify(a, i);
}

 

这里就说完了二叉堆，下一篇在随便说说堆中的二项堆。