差分（1）

差分是什么

我也不知道啊！

简单地说，差分数组就是↓这样的。

d[i] = a[i] -a[i - 1];

(d 是差分数组 ，a 是原数组)

(a[0]=0)

(两个数组下标从1开始）

举个栗子：

a[] = { 1,2,3,6,9,13 }

d[] = { 1,1,1,3,3,4  }

 

差分有什么用

我还是不知道啊！

最简单的，差分数组可以运用于区间修改&单点查询。

来道题目

N个气球排成一排，从左到右依次编号为1,2,3....N.每次给定2个整数a b(a <= b),lele便会骑上他的“小飞鸽"牌电动车从气球a开始到气球b依次给每个气球涂一次颜色。但是N次以后lele已经忘记了第I个气球已经涂过几次颜色了，你能帮他算出每个气球被涂过几次颜色吗？

简化一下题意：N次操作，将区间 [a,b] ++，N此操作后，输出每个点的值。（初始值为零）

这题就是上述的最简单的应用。

先看下代码

#include<cstdio>
const int N=1e5;
int c[N+10],s[N+10];
int main(){
    int n;
    int a,b;
    for(int i=1;i<=n;i++){
                scanf("%d%d,&a,&b);
        c[a]++;
        c[b+1]--;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        s[i]=c[i]+s[i-1];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        printf("%d ",s[i]);
    }
        return 0;
}      

是不是很简单

 

现在来分析一下

现有两个命题，需证明

1.差分数组的前缀和为原数组

2.区间修改只影响差分数组中的两个点——左端点 和 右端点的下一位

留作习题答案略，读者自证不难

 

前缀和

关于前缀和也有很多应用，此处不再赘述。

简单介绍一下概念：

s[i]=a[1]+a[2]+...+a[i]

也就是 s[i]=s[i-1]+a[i].

 

证明：（虽说很简单，但也写一下吧。）

s[i]=d[1]+d[2]+d[3]+...+d[i]

　 =a[1]-a[0]+a[2]-a[1]+a[3]-a[2]+...+d[i]-d[i-1];

     =d[i]-a[0]

　  =d[i]

这样，就得到了差分数组的前缀和等于原数组

修改前	a[1]	a[2]	a[3]	a[4]	a[5]	a[6]	a[7]
	c[1]	c[2]	c[3]	c[4]	c[5]	c[6]	c[7]
修改后	a[1]	a[2]	a[3]+k	a[4]+k	a[5]+k	a[6]	a[7]
	c[1]	c[2]	c[3]+k	c[4]	c[5]-k	c[6]	c[7]
下标	1	2	3（left）	4	5 （right）	6	7

列个表，惊喜的发现，只有 left 和right +1 两个点的值有改变

为什么呢？

这回真不写了，实在太过简单了，自己观察或者写写吧，相信不过几分钟的事。

 

这样子，就把对整段区间的修改，转换为了对两个节点的修改。

大大减小了时间复杂度。

在回顾一下上面的题目与代码，是不是这样的呢？

 

其他：比如树上差分，差分约束，就等下次见吧

（第一篇，望多多海涵）