构造题选做
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题目标号和ppt中不相同，因为有些题我skip了（
怎么 My Solution 这么少啊（大嘘）
T1
\(2n\) 个点的完全图，要把这些边分成 \(2n-1\) 组，每组 \(n\) 条边，且每条都是一个匹配（任意两条边没有公共点），\(n \leq 1000\)。
motivation: 从要求答案的构造特点入手，寻找直观情况
solution:
My Solution
题目要求的是匹配，匹配最常见的是二分图匹配，那么构造就先考虑变成二分图，左边 $n$ 个点，右边 $n$ 个点。这左右两边部分点之间的连边中，每个点都会连出去 \(n\) 条，那么可以简单的构造出 \(n\) 组。
接下来，就只用考虑左边内部和右边内部的连边如何构造出 \(n-1\) 组。
这个时候就需要对 \(n\) 进行奇偶讨论，因为左边每次选 \(2\) 个不重复的，如果是奇数，就会单出一个点来。
考虑简单的偶数情况，那么左边点和右边点都可以选出 \(\dfrac{n}{2}\) 条边，合在一起就是 \(n\) 条边的一个集合了，那就简单了。
左边的每个点都会向左边的其他点连出去 \(n-1\) 条边，于是一定也可以构造出 \(n-1\) 条边，如何构造，可以每次直接从第一个点进行 \(dfs\)，然后每次加入一条边，加入的边如果选中了两个没有被选中过的点，然后就把他存下来，并且标记用过这条边了。
然后选中 \(n\) 个点了之后就可以推出，把选了的边加入答案，同时，将他们从图中删除，所以存边用 \(set\) 存。
这样的话，复杂度是 \(O(m\log n)\) 的，没啥问题，右边同理，于是 \(n\) 为偶数的情况解决。
现在转过来考虑 \(n\) 为奇数的情况，那么左右边都只能选出 \(\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor\) 条，这样还差一条边，但是左右都剩了一个点，我们考虑用这两个点补全一下，可能很舒服，嗯？
那么在左边和右边的匹配中，每个点都留一条边到对面的点，这样中间就只会构造出 \(n-1\) 个匹配，接下来就要用左边和右边的 点构造出 \(n\) 个匹配。
每次先让左边保留一个点，让他和右边的进行匹配，那么对于剩下的 \(n-1\) 个点，这时候是偶数，随便选一个内部的匹配出来，这样完成了一组构造。
那么总共有 \(n\) 个点可以保留，做 \(n\) 次就可以获得合法的 \(n\) 个组合。
然后这题就做完了，复杂度实现应该是 \(m \log n\) 的。
Offcial Solution
先把点按 \(0 \sim 2n - 1\) 标号，考虑如下构造，对于一组边 \((x,y)\) 满足 \(0 \leq x < y < 2n - 1\)，我们把它们扔到 \((x + y) \bmod (2n - 1)\) 这一组，注意到 \(2n - 1\) 是个奇数，因此对于每个 \(i\) 存在唯一的 \(k\) 使得 \(2k = i (\bmod 2n - 1)\)。
把 \(k\) 和 \(2n - 1\) 的连边扔到 \(i\) 这一组就好了。
不难发现这样的构造所有边都被使用了至少一次，因此是个合法的构造。
T2
一个 \(n\) 个点的完全图，你需要从中选出尽量多的不交的树，\(n \leq 1000\)。
motivation: 寻找答案上界，归纳构造
solution:
Offcial Solution
考虑答案的上界，最直观的想法是 \(\dfrac{\dfrac{n(n-1)}{2}}{n-1} = \lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor\)。
知道了答案的上界，我们希望的是能尽量的去构造接近这个上界，但是即使如此，我们也只是知道了答案上界，对解题看起来没什么帮助。
我们不妨进行归纳法假设进行构造！我们假设当前构造合法取到上界，然后考虑将 \(n\) 变大一点去怎么构造接近这个上界。
于是假设 \(n=2k\) 的时候是合法的，我们希望证明 \(n=2k + 1,2k+2\) 也可以是成立的。
现在为了让 \(n = 2k + 1\) 合法，那么随便拿 \(k\) 个点连向它就是了。
因为此时每个点都存在于一棵选出来的树中。
同样的当 \(n = 2k + 2\) 的时候，我们选 \(1 \sim k\) 这些点连上 \(2k + 1\)，\(k + 1\sim 2k\) 这些点连上 \(2k + 2\)，这样就让之前的 \(k\) 棵树都加上了新的 \(2\) 个点。
接下来做一棵新的树，让 \(2k + 2\) 连向 \(1 \sim k\)，\(2k + 1\) 连向 \(k + 1\sim 2k\)，然后 \(2k + 2\) 连向 \(2k + 1\)。
于是构造完了，归纳构造厉害的。
虽然我好像一开始只想到了取链，然后被pass了
T3
一个 \(n \times n\) 的方格表，每个格子里有个字母。
每次可以让某行的所有字母向右循环平移若干格，或者把某列所有字母向下循环平移若干格。
若某行连续的三个字母为 \(k,e,y\)，则成为一个键，你需要在 \(10000\) 次操作内最大化键的数量。
\(n \leq 40\)。
motivation: 猜想答案上界形式，分析矩阵长度影响
solution:
Offcial Solution
猜想矩阵是什么模样的时候，答案取到上界，并且尽可能有一些规律。每一行应该从左往右都是 \(\textbf{keykey} \dots \textbf{key} \dots\) 的时候是最优的，那么我们现在就去构造一个这样的局面。
考虑一列一列的操作，假设现在是第 \(k\) 列，前 \(k - 1\) 列都是 \(\textbf{keykey} \dots \textbf{key} \dots\) 的形式，那么对于第 \(k\) 列，我们首先还是要把这一列填满成 \(\textbf{k}\)。
找到这一列某一行后面有一个 \(\textbf{k}\)，大家都玩过魔方吧w
可以考虑用魔方的方式来移动，先将这个 \(\textbf{k}\) 下移一位，然后把这一行循环移动到要填的第 \(k\) 列在 \(\textbf{k}\) 上面，然后在把 \(\textbf{k}\) 上移，再把这一行移动回去就好了
当然如果这一列放不满 \(\textbf{k}\)，就把除了 \(\textbf{e, y}\) 的其他字符放进来，如果只剩下 \(\textbf{e, y}\) 了，那么就计算出最优情况下 \(\textbf{e, y}\) 的使用次数，这里因为 \(\textbf{k}\) 没了，所以是可以知道的，然后优先把 \(\textbf{e, y}\) 会剩下的移动过来就好了。
如果列数不为 \(3\) 的倍数，那么最后一列不用管，但是如果是的话，还需要考虑最后一列的顺序怎么换。
最后一列和倒数第二列显然会尽量分别为 \(\textbf{y, e}\)，如果数量有为 \(n\) 就不用管了，所以只用考虑数量 \(< n\) 的情况，那么循环位移后，肯定存在一行使得两个格子都是其他字符，用这两个格子转移即可。
操作次数估计一下为 \(4n^2 = 6400 < 8000\)，然后做完了。
T4
给定一个 \(1 \sim n^2 + n\) 的排列，从中选出一个长度为 \(2n\) 的子序列，使得其中第 \(2k\) 和 \(2k - 1\) 大的数再子序列中位置相邻。
构造这个子序列，或者说明不可能，\(n \leq 1000\)。
motivation: 观察对答案影响，分段式计算
solution:
Offcial Solution
要求说明不可能的情况，一般是他在这里吓你，本来应该是百分百构造可行的，或者说这道题的突破点就在这里。大胆猜想他是在骗我们，并且他不是让我取数是相邻的🐎
那么我们继续大胆猜想肯定可以每次直接选出 \(2k\) 和 \(2k - 1\) 大的数。
考虑选了最小的和次小的之后的两个影响：
- 比最小值更小的就不能选了
- 在最小和次小之间的都不能选
然后从第二条入手，你智慧的想到把序列分成 \(n\) 段，每段 \(n + 1\) 个数，我们每次找到第二小的数字最小的段，把这段最小和次小的数字加入子序列中，并且把其他段里小于这段第二小的位置全部删掉。
注意到一次只会删掉一个段，且所有其他段中数字个数至多减少 \(1\)，所以一定有解。
T5
给定一个环，环上每个点是三种颜色之一，若一个点左右点颜色不一样，你就可以任意改变这个点的颜色。
问能否在 \(10n\) 次操作内把一个环变成另一个，如果能，给出构造。
\(5 \leq n \leq 10^5\)。
motivation: 环的特性，不要让无法操作的情况出现
solution:
My Solution
感觉给不出构造方案的就很简单的判断，如果全部为同一种颜色就改变不了，然后如果此时和另一个环不一样那么就无法构造了。否则的话，我们一定可以进行构造，因为一定可以构造到每个点都可以进行颜色的改变。
于是先考虑构造出每个点的颜色都可以改变的情况，不然很容易中途就无法构造了。
这个是简单的，对于一个球，把他的颜色变得和他距离为 \(2\) 的两个球颜色都不一样就好了。
如果直接让每个球变成对应的颜色的话，然后在变一下和他距离为 \(2\) 的点进行补救使得可以让下一个球进行操作，咦，好像行了，也就是：
将球顺序标号为 \(1 \sim n\)。
\(1\) 球变了之后，改一下 \(3\) 球的颜色使得和现在 \(1\) 球的颜色不一样，如果本来就不一样就不用改了，因为这样 \(2\) 球才能继续操作，对于 \(2\) 球同理的，先变的和要求的 \(2\) 球一样颜色，然后改一下 \(4\) 球颜色 \(\dots\)，现在是第 \(n - 2\) 个球改了，改第 \(n\) 个球的颜色，然后 \(n - 1\) 个球改，现在需要改第 \(1\) 个球的颜色，等等，无法改了？
然后我寄了，== 。
看了题解说要求改点 \(1\) 的时候额外再改一下点 \(n-1\) 使得颜色都不一样就行了，让 \(n - 1\) 点的颜色和目标串直接相同即可。
额，所以说最后无解条件是 \(n-1\) 和 \(1\) 点颜色不能相同？？？？？？？
好吧，行，容易发现确实要这样，不然确实不太能构造，除非一开始相等，于是在环上找到这样的两个点，然后标号做就好了。
操作次数大概是 \(3n\) 的。
其实已经差不多想到最后一步了，所以就算是我想出来的吧（雾）。
T6
一个 \(2^n - 1\) 个点的完全图，请你找出尽量多的不交的三元环，\(n \leq 10\)。
motivation: 分析答案上界
solution:
Offcial Solution
考虑答案上界，显然为每条边都出现在一个三元环中，也就是 $\dfrac{(2^n-2)(2^n-1)}{6}$，不难发现一定是个整数，因为每两个整数中有一个是 $2$ 的倍数，每三个整数中有一个是 $3$ 的倍数，而 $2^n$ 不会是 $3$ 的倍数。把所有 \(x \oplus y \oplus z = 0\) 的三个点取出一个三元环，显然这些三元环是两两不交的（固定任意一条边，另外两条边可以唯一被算出）。
显然 \(x, y, z\) 不会相同，每个三元环都会被统计 \(6\) 次，因此三元环个数为 \(\dfrac{(2^n-1)(2^n-2)}{6}\)。
T7
\(n\) 个数字，\(m\) 个关系表示 \(u\) 和 \(v\) 中的较大值和较小值是多少。
给出一组合法方案，\(n\) 个数字满足 \(m\) 个关系，\(n,m \leq 10^5\)。
motivation：诈骗题
solution:
My Solution
这东西可以求出每个数字取得最大值和最小值，显然有一种合法方案是每个数都取的最大值或者最小值。然后如果是较大值关系，那么强制某一边取最大值，否则强制某一边取最小值。
然后跑 \(2-sat\) 就完了。
T8
有一颗 \(n + m\) 个点的 DAG，有 \(n\) 个入度为 \(0\) 的点，初始时这些点的权值为 \(a_1, a_2, \dots a_n\)（均为 \(0,1\)），每个其他点的权值为两个子节点权值的与非（即先取 and 再取反）。
但是初始权值是不定的，你可以钦定若干个叶节点的权值，需要满足：
-
没有被钦定的叶节点全取 \(1\) 时，根节点的值和所有叶节点全取 \(1\) 时相同。
-
没有被钦定的叶节点全取 \(0\) 时，根节点的值和所有叶节点全取 \(0\) 时相同。
你要钦定尽量多的叶节点的权值，使得它满足这个条件。并给出方案，\(n \leq 10^5\)。
motivation: 鬼啊
solution:
Offcial Solution
首先答案上界肯定是 $n$，这个东西可以预处理出来然后判一下叶节点全取 $0$ 和 $1$ 的时候判断一下是否可行。日了，为啥我连这个都想不到。
否则的话我们考虑，你从一个值变得另一个值中间一定存在一个前缀 \(i\) 使得突然和与全 \(0\) 相等变到和全 \(1\) 相等，反正值只有两种。
你二分找到这个位置，这样的话你只用钦定这一个节点的值就好了。
于是这个情况的答案为 \(n-1\)，太抽象了。
