原码、反码和补码

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在计算机内，定点数有3种表示法：原码、反码和补码
所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。  
  反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。
补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。
1、原码、反码和补码的表示方法
（1） 原码：在数值前直接加一符号位的表示法。
例如： 符号位 数值位
[+7]原= 0 0000111 B
[-7]原= 1 0000111 B
  注意：a. 数0的原码有两种形式：
  [+0]原=00000000B [-0]原=10000000B
  b. 8位二进制原码的表示范围：-127～+127
（2）反码：
  正数：正数的反码与原码相同。
  负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。
例如： 符号位 数值位
  [+7]反= 0 0000111 B
  [-7]反= 1 1111000 B
注意：a. 数0的反码也有两种形式，即
  [+0]反=00000000B
  [- 0]反=11111111B
  b. 8位二进制反码的表示范围：-127～+127
（3）补码的表示方法
1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10 小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。
同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为28=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。
 
2）补码的表示：
  正数：正数的补码和原码相同。
  负数：负数的补码则是符号位为“1”，数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反码+1”。
例如： 符号位 数值位
  [+7]补= 0 0000111 B
  [-7]补= 1 1111001 B
补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意：
a. 采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算，所得结果仍为补码。
b. 与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即 [0]补=00000000B。
c. 若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。
2．原码、反码和补码之间的转换
由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。
在此，仅以负数情况分析。
（1） 已知原码，求补码。
例：已知某数X的原码为10110100B，试求X的补码和反码。
解：由[X]原=10110100B知，X为负数。求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反；求其补码时，再在其反码的末位加1。
1 0 1 1 0 1 0 0 原码
 
1 1 0 0 1 0 1 1 反码，符号位不变，数值位取反
  1 +1
1 1 0 0 1 1 0 0 补码
故：[X]补=11001100B，[X]反=11001011B。
（2） 已知补码，求原码。
分析：按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，故仍可采用取反加1 有方法。
例：已知某数X的补码11101110B，试求其原码。
解：由[X]补=11101110B知，X为负数。求其原码表示时，符号位不变，数值部分按位求反，再在末位加1。
1 1 1 0 1 1 1 0 补码
 
1 0 0 1 0 0 0 1 符号位不变，数值位取反
  1 +1
1 0 0 1 0 0 1 0 原码
1．3．2 有符号数运算时的溢出问题
请大家来做两个题目：
1）（+72）+（+98）=？
0 1 0 0 1 0 0 0 B +72
  + 0 1 1 0 0 0 1 0 B +98
  1 0 1 0 1 0 1 0 B -42
2）（-83）+（-80）=？
1 0 1 0 1 1 0 1 B -83
  + 1 0 1 1 0 0 0 0 B -80
  0 1 0 1 1 1 0 1 B +93
  思考：这两个题目，按照正常的法则来运算，但结果显然不正确，这是怎么回事呢？
  答案：这是因为发生了溢出。
如果计算机的字长为n位，n位二进制数的最高位为符号位，其余n-1位为数值位，采用补码表示法时，可表示的数X的范围是 -2n-1≤X≤2n-1-1
当n=8时，可表示的有符号数的范围为-128～+127。两个有符号数进行加法运算时，如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。很显然，溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。
对于加法运算，如果次高位（数值部分最高位）形成进位加入最高位，而最高位（符号位）相加（包括次高位的进位）却没有进位输出时，或者反过来，次高位没有进位加入最高位，但最高位却有进位输出时，都将发生溢出。因为这两种情况是：两个正数相加，结果超出了范围，形式上变成了负数；两负数相加，结果超出了范围，形式上变成了正数。
而对于减法运算，当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位（正数减负数，差超出范围），或者反过来，次高位需从最高位借位，但最高位不需借位（负数减正数，差超出范围），也会出现溢出。

补：

~是按位取反，而不是补码。
-3首位是符号位
那么首先就是1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011
然后符号为以外取补码
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1100(反码)
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101(补码)
这是-3的内存结构
然后按位取反
0000  0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010
那么结果就是2
另外位操作通常是为了提高运算速度，或节省内存空间，在或者实现某些算法而用。
比如说除2 就可以用n>>1来代替
n^1则代表其他位不变而低位取反。
再比如n^m
如果m是一个密钥，你可以对n进行一个简单的加密过程等等。

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